Enunciado

Prove que é irracional.

(a) sqrt(6)

(b) sqrt(2) + sqrt(3)

Passo 1

Fala aí, pessoal! Tudo certinho? 😁

Nesse problema temos que mostrar que sqrt(6) e sqrt(2) + sqrt(3) são valores irracionais...

Parece complicado? 😬

Primeiro vamos relembrar o que é o conjunto dos números irracionais!

Um número irracional é um número real que não pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Isso significa que um número irracional é um número decimal infinito e não periódico, ou seja, que não tem uma parte decimal que se repete.

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

(a) Galera, se sqrt(6) fosse um número racional, a gente conseguiria escrevê-lo assim:

sqrt(6) = (a)/(b)

onde a e b fossem naturais positivos, e a fração fosse irredutível.

Então, vamos supor que essa equação é verdadeira, e se encontrarmos alguma contradição, significa que provamos que sqrt(6) é irracional.

Elevamos a equação ao quadrado:

6 = (a^2)/(b^2)

a^2 = 6 b^2 = 2 ( 3 b )

Assim, vemos que a^2 é múltiplo de 2 , logo é par. Porém, o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar, então se a^2 é par, a só pode ser par.

Podemos então escrever a = 2 m :

a^2 = (2 m)^2 = 4 m^2

Agora substituímos a nova expressão de a^2 na equação:

6 = (a^2)/(b^2)

6 b^2 = a^2 = 4 m^2

3 b^2 = 2 m^2

Aqui achamos nossa contradição. Se b for par, teremos a e b pares, o que significaria que a fração a // b não é irredutível, como supomos. E se b for ímpar, teremos b^2 ímpar, logo 3 b^2 também é ímpar, o que contradiz com o fato de 3 b^2 ser múltiplo de 2 .

Logo, por contradição, sqrt(6) é irracional.

Bacana, não é? 😎

Passo 3

(b) Vamos supor, por contradição, que x = sqrt(2) + sqrt(3) é racional. Elevamos tudo ao quadrado:

x^2 = (sqrt(2) + sqrt(3))^2 = 2 + 2 sqrt(6) + 3

x^2 = 5 + 2 sqrt(6)

sqrt(6) = (x^2 - 5)/(2)

Lembre-se de que, pelo item (a), sqrt(6) é irracional. Porém, supomos logo acima que x é racional, então x^2 é racional, o que implicaria que x^2 - 5 é racional. Logo, teríamos sqrt(6) racional.

Por contradição! Provamos que sqrt(2) + sqrt(3) é irracional.

E aí? Achou de boa? Responde Aí! 😉

Resposta

sqrt(6) e sqrt(2) + sqrt(3) são irracionais.

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