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Prove que é irracional.

(a) 6

(b) 2 + 3

Passo 1

(a) Galera, se 6 fosse um número racional, a gente conseguiria escrevê-lo assim:

6 = a b

onde a e b fossem naturais positivos, e a fração fosse irredutível.

Então, vamos supor que essa equação é verdadeira, e se encontrarmos alguma contradição, significa que provamos que 6 é irracional.

Passo 2

Elevamos a equação ao quadrado:

6 = a 2 b 2

a 2 = 6 b 2 = 2   ( 3 b )

Assim, vemos que a 2 é múltiplo de 2 , logo é par. Porém, o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar, então se a 2 é par, a só pode ser par.

Podemos então escrever a = 2 m :

a 2 = 2 m 2 = 4 m 2

Passo 3

Agora substituímos a nova expressão de a 2 na equação:

6 = a 2 b 2

6 b 2 = a 2 = 4 m 2

3 b 2 = 2 m 2

Aqui achamos nossa contradição. Se b for par, teremos a e b pares, o que significaria que a fração a / b não é irredutível, como supomos. E se b for ímpar, teremos b 2 ímpar, logo 3 b 2 também é ímpar, o que contradiz com o fato de 3 b 2 ser múltiplo de 2 .

Logo, por contradição, 6 é irracional.

Passo 4

(b) Vamos supor, por contradição, que x = 2 + 3 é racional. Elevamos tudo ao quadrado:

x 2 = 2 + 3 2 = 2 + 2 6 + 3

x 2 = 5 + 2 6

6 = x 2 - 5 2

Lembre-se de que, pelo item (a), 6 é irracional. Porém, supomos logo acima que x é racional, então x 2 é racional, o que implicaria que x 2 - 5 é racional. Logo, teríamos 6 racional, contradição! Provamos que 2 + 3 é irracional.

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