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Sejam x , y dois reais quaisquer, com 0 < x < y . Prove

y - x 3 > y 3 - x 3

Passo 1

O truque aqui será desenvolver a seguinte inequação:

y 3   x 3   x 3 - y 3 < 0

Note que ela é verdadeira, pois, se usarmos as condições do enunciado:

y > 0 ⇒ y 3 > 0

x > 0 ⇒ x 3 > 0

0 < x < y ⇒ x 3 < y 3 ⇒ x 3 - y 3 < 0

Então, começamos a desenvolver a inequação:

y 3   x 3   x 3 - y 3   x 3   y 3 < 0

y 3   x 2 3 - y 2 3   x 3 < 0

Passo 2

Agora, multiplicamos a inequação por 3 :

3   y 3   x 2 3 - 3   y 2 3   x 3 < 0

Depois, somamos y - x nos dois lados:

y - x + 3   y 3   x 2 3 - 3   y 2 3   x 3 < y - x

y - 3   y 2 3   x 3 + 3   y 3   x 2 3 - x < y - x

Perceba que na esquerda temos um cubo perfeito:

y 3 - x 3 3 < y - x

Só resta tirar a raiz cúbica:

y 3 - x 3 < y - x 3

Logo, provamos:

y - x 3 > y 3 - x 3

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