Enunciado

Prove que os pontos A(6,-13), B(-2,2), C(13,10) e D(21,-5) são vértices de um quadrado. Ache o comprimento de uma diagonal.

Passo 1

Inicialmente vamos marcar os pontos no plano cartesiano e fazer um esboço da figura geométrica forma por eles.

Passo 2

Inicialmente precisamos verificar se a reta que passa pelos pontos A e B é perpendicular à reta que passa por A e D e também a reta que passa por B e C. Para isso, vamos determinar a inclinação das retas que passam por cada lado do quadrilátero.

Inclinação da reta que passa pelo lado AB:

m A B = 2 - - 13 - 2 - 6 ⇒

m A B = 2 + 13 - 8 ⇒

m A B =   - 15 8

Inclinação da reta que passa pelo lado AD:

m A D = - 5 - - 13 21 - 6 ⇒

m A D = - 5 + 13 21 - 6 ⇒

m A D = 8 15

Inclinação da reta que passa pelo lado BC:

m B C = 10 - 2 13 - - 2 ⇒

m B C = 8 15

Inclinação da reta que passa pelo lado CD:

m C D = - 5 - 10 21 - 13 ⇒

m C D = - 15 8 ⇒

m C D =   - 15 8

Observe que

m A B . m A D = - 15 8 . 8 15 =   - 1

m A B m B C = - 15 8 . 8 15 =   - 1  

O que garante que o segmento AB é perpendicular ao segmento AD e ao segmento BC.

Por outro lado, temos que m A B =   m C D o que garante que o segmentos AB e CD são paralelos. Assim garantimos que nosso quadrilátero é um retângulo (os quatro ângulos internos medem 90◦)

Passo 3

Para que o quadrilátero ABCD seja um quadrado é preciso que seus quatro lados tenham a mesma medida, ou seja, AB = BC = CD = DA. Vamos determinar a medida de cada lado.

A B = - 2 - 6 2 + 2 - - 13 2 ⇒

A B = - 8 2 + 15 2 ⇒

A B = 64 + 225 ⇒

A B = 289 ⇒

AB = 17

B C = 13 - ( - 2 ) 2 + 10 - 2 2 ⇒

B C = 15 2 + 8 2 ⇒

B C = 225 + 64 ⇒

B C = 289 ⇒

B C = 17

C D = 21 - 13 2 + - 5 - 10 2 ⇒

C D = 8 2 + - 15 2 ⇒

C D = 64 + 225 ⇒

C D = 289 ⇒

C D = 17

D A = 6 - 21 2 + - 13 - ( - 5 ) 2 ⇒

D A = - 15 2 + - 8 2 ⇒

D A = 225 + 64 ⇒

D A = 289 ⇒

D A = 17

Como A B = B C = C D = D A   , temos que o quadrilátero ABCD é um quadrado, como queríamos mostrar.

Passo 4

Agora vamos achar a diagonal desse quadrado! Pra isso temos que lembrar que a diagonal forma um triângulo retângulo com dois lados do quadrado! Assim só temos que usar o teorema de Pitágoras

D 2 = l 2 + l 2 = 2 l 2

D = 2 l

Como já vimos que o lado do quadrado é l = 17

D = 17 2

Feshow? :D

Resposta

Demonstração acima

Diagonal: 17 2

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