Enunciado

Prove que as retas tangentes às curvas 4 y 3 - x 2 y - x + 5 y = 0 e x 4 - 4 y 3 + 5 x + y = 0 na origem são perpendiculares.

Passo 1

Bom, como o enunciado fala de retas tangentes, vamos precisar calcular as derivadas de cada curva, através disso, poderemos provar que elas são perpendiculares. Como ambas as equações dependem de x e y, e não podemos separá-los, então a gente vai precisar derivar implicitamente:

d d x 4 y 3 - x 2 y - x + 5 y = d d x 0

d d x x 4 - 4 y 3 + 5 x + y = d d x 0

Passo 2

Vamos resolver primeiro a primeira equação:

d d x 4 y 3 - x 2 y - x + 5 y = d d x 0

Derivando termo a termo, e já resolvendo o lado direito que é simples:

d d x 4 y 3 - d d x x 2 y - d d x x + d d x 5 y = 0

O primeiro termo precisa da Regra da Cadeia, pois y é função de x:

d d x 4 y 3 = 12 y 2 d d x y = 12 y ' y 2

O segundo precisa da Regra do Produto:

d d x x 2 y = d d x x 2 y + x 2 d d x y = 2 x y + x 2 y '

Os outros podemos derivar diretamente, e a equação vai ficar assim:

12 y ' y 2 - 2 x y - x 2 y ' - 1 + 5 y ' = 0

Isolando y’:

y ' 12 y 2 - x 2 - 5 = 2 x y + 1

y ' = 2 x y + 1 12 y 2 - x 2 + 5

Passo 3

Agora a segunda equação:

d d x x 4 - 4 y 3 + 5 x + y = d d x 0

Seguindo o mesmo raciocínio anterior:

d d x x 4 - d d x 4 y 3 + d d x 5 x + d d x y = 0

O segundo termo precisa que a gente use a Regra da Cadeia:

d d x 4 y 3 = 12 y 2 d d x y = 12 y ' y 2

E os outros três termos podemos calcular diretamente, ficando com:

4 x 3 - 12 y ' y 2 + 5 + y ' = 0

Isolando y’:

y ' - 12 y 2 + 1 = - 5 - 4 x 3

y ' = 4 x 3 + 5 12 y 2 - 1

Passo 4

Agora vamos substituir o ponto ( 0 ,   0 ) , que é onde as retas encontram, em cada uma das equações que obtivemos:

y ' 1 = 2 . 0.0 + 1 12 . 0 2 - 0 2 + 5 = 1 5

y ' 2 = 4 . 0 3 + 5 12 . 0 2 - 1 = - 5

Precisamos que o produto entre as inclinações dê -1, pois isso mostra que as duas retas teriam uma diferença angular de 90 graus entre si:

y ' 1 y ' 2 = - 5   . 1 5 = - 1  

O que prova que nossas retas são perpendiculares entre si.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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