Enunciado

12.(a) Encontre a inclinação da tangente à parábola y = 1 + x + x 2   nos pontos onde x = a .

(b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos cujas coordenadas são (i) - 1 (ii) - 1 2 e (iii) 1

(c) Faça o gráfico da curva e das três tangentes em uma tela comum.

Passo 1

Fala aí, pessoal!

Nesse problema foi dada a equação da parábola

y = 1 + x + x 2

E nosso objetivo é obter a inclinação da reta tangente a y nos pontos x = a , x = - 1 , x = - 1 / 2 e x = 1 .

Por fim queremos usar essas informações para esboçar o gráfico de y e das retas tangentes.

Parece complicado?

Para obter a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer de uma função f x = y usamos a equação

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) ) .

Vamos usar essa fórmula para resolver o item a) e apartir do resultado do item a) substituímos os valores do item b).

Depois de tudo isso analisamos o comportamento da função para esboça-la.

Bora lá!

Passo 2

A equação é dada por

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Vamos começar obtendo f a + h para substituir no limite

Se f x = 1 + x + x 2 , substituímos x por a + h ...

f a + h = 1 + a + h + a + h 2

f a + h = 1 + a + h + a 2 + 2 a h + h 2

Agora fazemos o mesmo para obter f a (substituímos x por a em f x )

f ( a ) = 1 + a + a 2

Substituindo tudo no cálculo do limite temos:

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

m = lim h → 0 ⁡ 1 + a + h + a 2 + 2 a h + h 2 - 1 - a - a 2 h

Organizando esse numerador...

m = l i m h → 0 h + 2 a h + h 2 h

Botando o h em evidência para fazermos a redução depois!! Fica dessa forma:

m = l i m h → 0 h ( 1 + 2 a + h ) h

“Cortando” o h de cima e de baixo, temos:

m = lim h → 0 ⁡ 1 + 2 a + h

m = 1 + 2 a

Show?

Passo 3

Agora apenas substituiremos o valor de a pelos valores do enunciado.

(i) a = - 1

m - 1 = 1 + 2 - 1

m - 1 = 1 - 2

m - 1 = - 1

(ii) a = - 1 2

m - 1 2 = 1 + 2 - 1 2

m - 1 2 = 1 - 1

m - 1 2 = 0

(iii) a = 1

m 1 = 1 + 2 1

m 1 = 1 + 2

m 1 = 3

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Perceba que quanto maior x , maior é tambem sua inclinação.

para x = - 1 2 a inclinação é 0 . Isso significa que nesse ponto a reta tangente é horizontal.

Para x = - 1 a inclinação é - 1 , isso significa que a reta tangente é decrescente nesse ponto.

Já em x = 1 , a inclinação é 3 , logo, a reta tangente é crescente.

Assim podemos dizer que a função tem as seguintes características... quando x < - 1 2 a função y é decrescente e conforme x vai chegando em - 1 2 a inclinação tende a ser nula. Por fim, quando x > - 1 2 a inclinação da reta tangente à função aumenta deliberadamente.

Com isso, esboçando o gráfico da função e as retas tangentes a ela, vamos obter

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

( a ) m = 1 + 2 a

( b )   (i) m = - 1

(ii) m = 0

(iii) m = 3

(c)

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