Enunciado

44. Prove: Se f e g são contínuas em a , b , f a > g a ,   f b < g b , então existe no mínimo uma solução para equação f x = g x em a , b . [ S u g e s t ã o :Considere f ( x ) - g ( x ) .]

Passo 1

A questão pede para mostrar que existe, no mínimo, uma solução para a equação dada no enunciado. A primeira coisa que me vem à cabeça é o Teorema do Valor Intermediário. Só que esse teorema só pode ser usado para equações que estejam igualadas a zero. Mas a questão nos deu uma sugestão. Acho uma boa a gente tentar usar. Então, vem comigo!!!

Passo 2

Vamos deixar o g x e o f x do mesmo lado da igualdade e ver o que acontece.

f x - g x = 0

Agora simmmmm!!!!! Acho que vai dar para usar o TVI. Temos uma função h x = 0   e contínua em [ a , b ] , pois as duas funções que a compõem são contínuas nesse intervalo.

Só precisamos de dois pontos em que a função assuma valores diferentes de zero e com sinais contrários. Perceba que o enunciado nos dá duas outras informações:

f a > g a

  f b < g b

Olha o que a gente pode fazer:

f a - g ( a ) > 0

  f b - g ( b ) < 0

Ou seja, existem dois valores no intervalo dado que, quando aplicados à função, resultam em números diferentes de zero e com sinais contrários. Portanto, pelo TVI, sabemos que existe no mínimo uma solução para equação f x = g x em a , b ; e isso finaliza a questão.

Resposta

Utilizando o Teorema do Valor Intermediário, mostramos que existe no mínimo uma solução para equação f x = g x em a , b .

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