Enunciado

40. Prove que f x = 1 / x 4 + 7 x 2 + 1     2 é contínua em toda parte, justificando cuidadosamente cada passo.

Passo 1

Primeiro, vamos analisar a função dada no enunciado. Se trata de uma função racional com uma raiz quadrada no denominador. Agora, nós devemos nos perguntar se existe algum ponto no qual a nossa função não esteja bem definida. Ou seja, se para algum x ∈ R o denominador se anula ou se a raiz quadrada fica negativa. Esses são os pontos em que a nossa função dá problema.

Passo 2

Agora, vamos ver se o denominador da nossa função se anula em algum ponto.

Para tanto, vamos definir

y = x 2   ( 1 )

Assim, teremos

y 2 + 7 y + 1

Igualando o polinômio acima a zero,

y 2 + 7 y + 1 = 0   ( 2 )

∆ = 49 - 4

∆ = 45

y = - 7 ± 3 5 2

Como 3 5 é menor do que 7 , vamos obter duas raízes negativas. Portanto, não existirá x ∈ R   que satisfaça a eq. (1) para cada um dos valores de y obtidos a partir de (2).

Com isso, vemos que o denominador nunca se anula.

Passo 3

Agora, precisamos nos certificar de que a raiz nunca fica negativa. Para isso, vamos ter auxílio do gráfico da função x 4 + 7 x 2 + 1 .

Ao analisar o gráfico, vemos que a função só assume valores positivos.

Portanto, não temos problema com a raiz quadrada.

Resposta

Mostramos, nos passos anteriores, que a função não tem nenhuma singularidade, nenhum ponto em que ela não esteja bem definida. Portanto, ela é contínua em toda parte.

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