Enunciado

Prove o teorema 11.1.4 para x -> - oo

Passo 1

Pelas definições de limite lateral, pode-se mostrar as seguintes coisas:

underset(x -> - oo)(lim) f (x) = M e underset(x -> 0 -)(lim) F (t) = M

Têm o mesmo significado. Como, por hipótese, underset(x -> - oo)(lim) f (x) = 0 e underset(x -> - oo)(lim) g (x) = 0 , podemos concluir que

underset(x -> 0 -)(lim) F (t) = 0 e underset(x -> 0 -)(lim) G ( t ) = 0

Passo 2

Considerando o quociente F’(t)/G’(t), temos, usando a regra da cadeia:

(F^' (t))/(G^' (t)) = ((- (1)/(t^2) f^' ((1)/(t))))/(- (1)/(t^2) g^' ((1)/(t)))

(F^' (t))/(G^' (t)) = (f^' ((1)/(t)))/(g^' ((1)/(t))) = (f^' (x))/(g^' (x))

Como por hipótese, underset(x -> 0 -)(lim) (f^' (x))/(g ' ( x )) = L , do que está acima segue que:

underset(x -> 0 -)(lim) (F^' (t))/(G^' (t)) = L

Passo 3

Como para todo x>N, g’(x) é diferente de 0, G’(t) é diferente de 0 para todo 0

underset(x -> 0 -)(lim) (F (t))/(G (t)) = L

e

underset(x -> 0 -)(lim) (f (x))/(g (x)) = L

Temos que:

underset(x -> - oo)(lim) (f (x))/(g (x)) = L

Logo o teorema está PROVADO!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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