Enunciado

Prove o Teorema 1.2.5: O gráfico da equação A x + B y + C = 0 , onde A , B e C são constantes e nem A e nem B são nulos, é uma reta. (Sugestão: Considera dois casos B ≠ 0 e B = 0 . Se B ≠ 0 , mostre que a equação é aquela de uma reta tendo inclinação - A B e o intercepto y - C B . Se B = 0 , mostre que a equação é aquela de uma reta vertical.)

Passo 1

Vamos separar a resolução em dois casos.

1º Caso) B ≠ 0 :

Podemos reescrever a equação dada.

A x + B y + C = 0 ⇒

B y = - A x - C ⇒

y = - A B x - C B

Observe que a equação agora está escrita na forma inclinação-intercepto da equação da reta. Portanto, se B ≠ 0 , o gráfico de A x + B y + C = 0 é uma reta

Passo 2

2º Caso) B = 0 :

Substituindo B = 0 na equação temos

A x + 0 . y + C = 0 ⇒

A x + 0 + C = 0 ⇒

A x + C = 0 ⇒

A x = - C ⇒

x = - C A

Observe que esta é a equação de uma reta vertical com intercepto x em - C A .

Logo, se B = 0 , o gráfico da equação A x + B y + C = 0 é uma reta.

Passo 3

Portanto, para todo valor de B o gráfico de A x + B y + C = 0 é uma reta, como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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