Prove o Teorema 3.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Primeiramente vejamos o que diz o teorema que desejamos provar:

Teorema 3 — Teorema da função contínua para sequências – Seja { a n } uma sequência de números reais. Se a n → L e se f for uma função que é contínua em L e definida em todo a n , então f a n = f ( L ) .

Agora sim, vamos a sua demonstração:

Seja { a n } uma sequência de números reais tal que a n → L . Consideremos f : X → R uma função contínua em L e definida para todo a n . Levando em conta ainda a sequência { f ( a n ) } .

Adotando ϵ > 0 arbitrário e sendo f uma função contínua em L então existe um δ > 0 tal que x ∈ X e x - L <   δ o que implica que f ( x ) - f ( L ) <   ϵ .

Sendo a n → L temos que existe um N ∈   N tal que a n - L <   δ para todo n > N . Portanto, para todo n > N temos que f ( a n ) - f ( L ) <   ϵ .

Logo, desde que ϵ > 0 temos que para todo ϵ > 0 existe N ∈   N tal que f ( a n ) - f ( L ) <   ϵ para todo n > N   temos que f a n → f ( L ) . Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a demonstração acima.

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