Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.

Passo 1

Fala, pessoal! Ficaram com dúvida nessa questão? Não tem problema, vem comigo que vamos resolver ela juntos!

Para o Teorema 2 temos o Teorema do confronto para as sequências e é dado que as sequências { a n } ,   { b n } e { c n } com a n ≤   b n   ≤   c n para um dado índice n   ≥ N , se existir o limite de l i m n   →   ∞ a n   = L e l i m n   →   ∞ c n   = L . Logo, l i m n   →   ∞ b n   = L .

Se liga que a demonstração vem nos próximos passos.

Passo 2

Vamos começar essa questão lembrando que se um limite existe, para um ϵ   >   0 , temos que:

se n   ≥   n 1 , temos: L - ϵ < a n < L + ϵ

se n   ≥   n 2 , temos: L - ϵ < b n < L + ϵ

se n   ≥   n 3 , temos: L - ϵ < c n < L + ϵ

onde o truque aqui vai ser trabalhar com L - ϵ < x n < L + ϵ ao invés do módulo absoluto em | x n - L | < ϵ .

Como queremos demonstrar para b n , precisamos de um índice N em que esse número seja o maior entre n 1 , n 2 , n 3 , ou seja N =   m a x { n 1 , n 2 , n 3 } . Com isso, garantimos a validade da seguinte relação, pois n ≥ N :

L - ϵ < a n ≤   b n   ≤   c n < L + ϵ

Passo 3

Agora, se olharmos bem para a última relação do passo anterior, a desigualdade da esquerda é garantida pois n ≥ N ≥ n 1 e a da direita também é garantida pela condição de que n ≥ N ≥ n 3

Logo, pelas relações iniciais do passo 2, podemos verificar que:

⇒ L - ϵ <   b n   < L + ϵ

⇒ - ϵ <   b n   - L < ϵ

⇒   | b n   - L | < ϵ

e concluímos que existe o limite

l i m n   →   ∞ b n   = L

Resposta

Ver a discussão acima.

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