Enunciado

Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada:

b < c < a

(Teorema dado no livro).

Passo 1

O teorema citado diz que se temos um intervalo qualquer contendo a , b , e c no qual f ( x ) é integrável, teremos o resultado ∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x , independente da ordem de a , b , e c . Sabemos de outro teorema que o resultado é válido para a < c < b , queremos agora partir desse resultado provar para a ordem b < c < a .

Passo 2

Se b < c < a , podemos afirmar, pela ordem convencional do teorema que:

∫ b a f x d x = ∫ b c f x d x + ∫ c a f x d x

Mas o resultado que queremos é:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Temos em cima a mesma equação de baixo com os limites de integração invertidos. Trocamos então em todas os limites de integração e multiplicamos por - 1 .

- ∫ a b f x d x = - ∫ b c f x d x - ∫ c a f x d x

Agora basta multiplicar tudo por - 1 e reorganizar o lado direito pra chegarmos na equação que queríamos.

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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