Enunciado

Prove o Teorema 5.6.2.:

Se f for definida no intervalo fechado [ a , b ] , e se

lim Δ → 0 ⁡ ∑ i = 1 N f ξ i Δ i x

existe, onde Δ é qualquer partição de [ a , b ] , então se k for uma constante qualquer,

lim Δ → 0 ⁡ ∑ i = 1 N k   f ξ i Δ i x = k lim Δ → 0 ⁡ ∑ i = 1 N f ξ i Δ i x

Passo 1

Quando temos uma questão de provar teoremas envolvendo somatório, uma boa alternativa geralmente é abrir o somatório pra observar se fica mais intuitivo o resultado. É isso que faremos então.

Passo 2

No lado esquerdo da equação, temos um somatório com termos k   f ξ i Δ i x , se iniciando em i = 1 e terminando para um N muito grande. Abrindo o somatório, então ele fica assim:

lim Δ → 0 ⁡ ∑ i = 1 N k   f ξ i Δ i x = l i m Δ → 0 k f ξ 1 Δ 1 x + k f ξ 2 Δ 2 x + k f ξ 3 Δ 3 x + …

Passo 3

Dentro do limite, podemos colocar o k em evidência. Ficamos então com:

l i m Δ → 0 k f ξ 1 Δ 1 x + k f ξ 2 Δ 2 x + k f ξ 3 Δ 3 x + … = l i m Δ → 0 k f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + …

Agora, sabemos pelas propriedades de limite que podemos tirar a constante k de dentro do limite.

l i m Δ → 0 k f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + … = k   l i m Δ → 0 f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + …

Passo 4

Agora que já tiramos o k de dentro da expressão, podemos voltar ao somatório. Dentro do limite agora temos os mesmos termos   f ξ i Δ i x , agora sem o k , ainda iniciando no i = 1 e terminando num N muito grande. Então, nossa expressão fica assim:

k   l i m Δ → 0 f ξ 1 Δ 1 x + f ξ 2 Δ 2 x + f ξ 3 Δ 3 x + … = k lim Δ → 0 ⁡ ∑ i = 1 N f ξ i Δ i x

Que é exatamente o que queríamos achar inicialmente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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