Enunciado

Prove que o teorema 2.4 . 3 i i :

Se r for um inteiro positivo qualquer, então

lim x → 0 - ⁡ 1 x r = - ∞ s e r   f o r   í m p a r + ∞ s e r   f o r   p a r

Passo 1

Temos que separar em duas demonstrações. Primeiro supondo que r seja par, depois suponodo que seja ímpar.

Se r for par, ele quer que demonstre que:

lim x → 0 - ⁡ 1 x r = + ∞

Então, temos que mostrar que:

Para todo N > 0 existe δ > 0 tal que:

s e   0 < 0 - x < δ   e n t ã o 1 x r > N

s e   0 < - x < δ   e n t ã o 1 x r > N

Temos que começar olhando a expressão que ele deu para depois tentarmos arrumar essa expressão para acharmos o δ

Passo 2

Temos que

- x > 0

Então, x < 0 .

Vamos olhar aquela expressão que ele quer no final:

1 x r > N

Divindo por N e multiplicando por x r , quando multiplicamos por x r , apesar do x ser um número negativo, como o r é par, x r será um número positivo. Dessa forma a inequação não vai se alterar.

1 N > x r

Podemos passar a raiz r - é s i m a na inequação, encontrando

x < 1 N r

Colocamos o módulo porque é r é par.

Essa inequação modular vai ficar:

- 1 N r < x < 1 N r

Queremos olhar a expressão com - x , então multiplicando por - 1

1 N r > - x > - 1 N r

Chegamos em uma expressão parecida com o δ

- x < 1 N r

Já vimos que ele é > 0 , então

0 < - x < 1 N r

Pronto, isso mostra que se pegarmos

δ = 1 N r

Conseguimos chegar em

1 x r > N

Passo 3

Vamso para a segunda parte:

Se r for ímpar, ele quer que demonstre que:

lim x → 0 - ⁡ 1 x r = - ∞

Ou seja:

Para todo N < 0 existe δ > 0 tal que:

s e   0 < 0 - x < δ   e n t ã o 1 x r < N

s e   0 < - x < δ   e n t ã o 1 x r < N

Temos que começar olhando a expressão que ele deu para depois tentarmos arrumar essa expressão para acharmos o δ

Passo 4

Temos que

- x > 0

Então, x < 0 .

Vamos olhar aquela expressão que ele quer no final:

1 x r < N

Divindo por N e multiplicando por x r , quando multiplicamos por x r , como o r é ímpar, x r será um número negativo porque x é negativo, o que altera a inequação. Mas ao dividirmos por N , que é negativo, a inequação antera novamente. Então acaba que a inequação se mantém.

1 N < x r

Podemos passar a raiz r - é s i m a na inequação, encontrando

x > 1 N r

Queremos olhar a expressão com - x , então multiplicando por - 1

- x < - 1 N r

Chegamos em uma expressão parecida com o δ

Já vimos que ele é > 0 , então

0 < - x < - 1 N r

Pronto, isso mostra que se pegarmos

δ = - 1 N r

Conseguimos chegar em

1 x r < N

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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