Enunciado

17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.

26. lim x → 2 ⁡ f x = 5 , onde f x = 9 - 2 x ,     x < 2 3 x - 1 ,     x > 2

Passo 1

Então galera, o enunciado pede para que utilizemos da definição formal de limites para provar que o limite que nos foi dado está, de fato, correto. A definição formal, caso não se lembre, nos diz:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Parece complicado toda essa notação, não é mesmo? Prometo que não é tudo isso, bora lá!

Passo 2

O limite que nos foi dado é o seguinte:

lim x → 2 ⁡ f x = 5

No entanto, foi dado duas condições pra gente, então teremos dois resultados. Isso também não será problema pois faremos um de cada vez, sem pressa, ok? Para x > 2 ou x → 2 + , temos o seguinte:

3 x - 1 - 5 < ϵ

3 x - 6 < ϵ

3 x - 2 < ϵ

x - 2 < ϵ 3

Mas só se:

0 < x - 2 < δ

Disso podemos tirar que δ = ϵ 3 . Tudo bem, a primeira parte foi feita!

Passo 3

Agora para x < 2 ou x → 2 - , temos o seguinte:

9 - 2 x - 5 < ϵ

- 2 x - 4 < ϵ

2 x - 2 < ϵ

x - 2 < ϵ 2

Disso podemos tirar que δ = ϵ 2 . Ok, agora a segunda parte também foi concluída! Para ambos os casos o resultado foi coerente, galera. Como o primeiro módulo é equivalente ao segundo e esse mesmo segundo se verifica com o δ que acabamos de encontrar, então o primeiro módulo também se verifica com esse mesmo δ que acabamos de encontrar. Dessa forma, fica provado que o limite, de fato, está correto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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