Prove, usando a definição de uma derivada, que

lim x → 0 ⁡ e a x - 1 x = a

Passo 1

A definição de derivad é

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Se comparamos ela com o limite que ele pediu:

lim x → 0 ⁡ e a x - 1 x

Vamos ter

x = x - x 0

Então devemos pegar x 0 = 0

No nosso numerador, vamos ter

e a x - 1 = f x - f 0

Repara que

e a . 0 - 1 = 1 - 1 = 0

Então, se pegarmos

f x = e a x - 1

Vamos ter certinho a derivada em 0

lim x → 0 ⁡ e a x - 1 x = f ' 0

Passo 2

Vamos achar a derivada de f x

f x = e a x - 1

Vamos usar a regra da cadeia

f ' x = e a x - 1 ' = e a x ' = e a x a x ' = a e a x

Agora, vamos achar essa derivada em 0

f ' 0 = a e a . 0 = a e 0 = a

Passo 3

Para terminar

lim x → 0 ⁡ e a x - 1 x = f ' 0 = a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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