Enunciado

Questão 28) Calcule a integral indefinida:

int_0^((pi^2)/(2)) cos sqrt(2 x) d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não conseguirá resolver
  2. Note também que o integrando " cos sqrt(2 x) " não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções e veja que no integrando só aparece uma função explicita .

Esse é outro problema clássico que é preciso fazer uma substituição antes de usar a técnica de integração por partes

Passo 2

Seja z = sqrt(2 x) -> (z ²)/(2) = x

Logo, (d x)/(d z) = (2 z)/(2) = z então, d x = z dz

Substituindo no integrando, veja.

int cos sqrt(2 x) d x = int cos z . z d z , certo?

Agora sim usamos interação por partes , vamos lá.

Seja f (z) = z derivando f’(z) = 1

g’(z) =cos z integrando g(z) = s e n z

Substituindo na formula, temos;

int cos z . z d z = z. sen z - int s e n z d z

= z .sen z – ( - cos z )

= z . sen z + cos z

Colocando em função de x, pois é a variável que a questão envolve

= sqrt(2 x ) s e n sqrt(2 x) + c o s sqrt(2 x)

Aplicando os intervalos;

Passo 3

int_0^((pi^2)/(2)) cos sqrt(2 x) d x = sqrt(2 x ) s e n sqrt(2 x) + c o s sqrt(2 x) | [[(pi^2)/(2)],[0]]

= sqrt(2 x ) s e n sqrt(2 x) + c o s sqrt(2 x) | [[(pi^2)/(2)],[0]]

= ( sqrt(2 (pi^2)/(2)) . sen sqrt(2 (pi^2)/(2)) + cos sqrt(2 (pi^2)/(2)) ) - ( sqrt(0) sen 0 + cos 0 )

= ( pi sen pi + cos pi ) – ( cos 0)

= -1 -1 = -2

Resposta

int_0^((pi^2)/(2)) cos sqrt(2 x) d x = -2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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