Questão 28) Calcule a integral indefinida:

  ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ 2 x     d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não conseguirá resolver
  2. Note também que o integrando   " cos ⁡ 2 x     " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções e veja que no integrando só aparece uma função explicita .

Esse é outro problema clássico que é preciso fazer uma substituição antes de usar a técnica de integração por partes

Passo 2

Seja z = 2 x z ² 2 = x

Logo, d x d z = 2 z 2 = z então, d x = z dz

Substituindo no integrando, veja.

∫ cos ⁡ 2 x   d x = ∫ cos ⁡   z   . z     d z , certo?

Agora sim usamos interação por partes , vamos lá.

Seja f (z) = z derivando f’(z) = 1

g’(z) =cos z integrando g(z) =   s e n z

Substituindo na formula, temos;

∫ cos ⁡ z   .   z   d z = z. sen z - ∫ s e n   z   d z

= z .sen z – ( - cos z )

= z . sen z + cos z

Colocando em função de x, pois é a variável que a questão envolve

= 2 x     s e n   2 x + c o s 2 x

Aplicando os intervalos;

Passo 3

∫ 0 π 2 2 cos ⁡ 2 x     d x = 2 x     s e n   2 x + c o s 2 x | π 2 2 0

= 2 x     s e n   2 x + c o s 2 x | π 2 2 0

=   (   2 π 2 2 . sen 2 π 2 2 + cos 2 π 2 2 ) - ( 0 sen 0 + cos 0 )

= (   π sen π + cos π ) – ( cos 0)

= -1 -1 = -2

Resposta

∫ 0 π 2 2 cos ⁡ 2 x     d x = -2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados