Enunciado

Quais das quatro retas seguintes são paralelas? Existem duas coincidentes?

L 1 : x = 1 + 6 t ; y = 1 - 3 t ; z = 12 t + 5

L 2 : x = 1 + 2 t ; y = t ; z = 1 + 4 t

L 3 : 2 x - 2 = 4 - 4 y = z + 1

L 4 : r = 3,1 , 5 + t 4,2 , 8

Passo 1

Vamos ver os vetores das retas...

L 1 : 6 , - 3,12

L 2 :   2,1 , 4

L 4 :   4,2 , 8

A L 3 tá como simétrica, a gente tem que escrever a paramétrica dela:

L 3 : x = t 2 + 1   ; y = 1 - t 4 ; z =   - 1 + t

Temos o vetor: 1 2 ,   - 1 4 , 1 então.

Vamos ver quais vetores são múltiplos...

Os de L 2   e   L 4 são né? Só multiplicar o L 2 por 2. Então L 2   e   L 4 são retas paralelas.

E L 1     e   L 3 também são. (veja que os vetores são múltiplos).

Olha, L 1     e   L 2 não são paralelas hein? Olha o sinal dos vetores, não dá pra serem múltiplos!!

Será que tem alguma coincidente?

Passo 2

Pra ser coincidente elas teriam que ter vetores múltiplos, ou seja, as que a gente colocou para serem paralelas são as candidatas.

Vamos igualar as coordenadas de L 2   e   L 4 ...

1 + 2 t = 3 + 4 t

t = 1 + 2 t

1 + 4 t = 5 + 8 t

Veja que isso é sempre verdade para t = - 1 , então as retas coincidem.

No caso de L 1 e L 3 , se fizermos t = 0 em ambas, encontramos o ponto ( 1,1 , 5 ) , e não encontramos esse ponto em L 3 , então elas não são coincidentes.

Resposta

Paralelas: L 2 e L 4 ; L 1   e   L 3 .

Conicidentes: L 2   e   L 4 .

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