Questão 22) Calcule a integral indefinida:

                                                                                          ∫ c o s - 1 2 x d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve e além disso, Note que o integrando c o s - 1 2 x não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além do mais, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X ) e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções

Passo 2

Façamos; F(x)= c o s - 1   2 x f’(x)= - 2 1 - 4 x 2

g’(x)= 1 integrando G(x)= x

Sente dificuldade em entender a derivada de c o s - 1   2 x   ? É bom buscar tabelas de integração notáveis e estuda-las, ou seja, é bom saber boa parte dessas integrais muito usadas para economizar tempo de solução, mas na duvida mostrarei aqui como chegar pra economizar seu tempo

(9 d d x ( c o s - 1   ) = - 1 1 - x 2 , certo ? so substituir o x por 2x. )

substituindo na formula de integração por partes

∫ f x g ' ( x ) d x = f x g ( x ) - ∫ f ' x g ( x ) dx

∫ c o s - 1 2 x dx= c o s - 1 2 x . x +   ∫ 2 1 - 4 x 2   d x

Passo 3

Resolvendo separadamente     " ∫ 2 1 - 4 x 2 d x       " , usamos uma substituição simples,                          

seja u= 1 - 4 x 2 logo;   d d x = 1-8x d u = - 8 x   d x       →   d u - 4 = -4.2x dx , substituindo;

- 1 4 ∫ d u u = - 1 4 ∫ u - 1 2 d u = - 1 4 . u 1 2 1 2 = - 1 4   . 2 u 1 2     = - 1 u 2 = - 1 2 1 - 4 x 2 ,

Agora substituindo na equação original;

∫ c o s - 1 2 x dx = x . c o s - 1 2 x . x - 1 2 1 - 4 x 2 + c.

Resposta

∫ c o s - 1 2 x dx = x . c o s - 1 2 x . x - 1 2 1 - 4 x 2 + c.

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