Enunciado

Questão 26) Calcule a integral indefinida:

int_(- 1)^2 ln (x + 2) d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada) não conseguirá resolver.
  2. Note que o integrando " ln (x + 2) " não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções, portanto devemos encontrar no integrando ‘’ln(x+2)’’ o produto de duas funções, mas note que ln(x+2) = 1.ln(x+2) certo? Vamos lá.

Passo 2

Seja f(x) = ln(x+2) derivando, f’(x) = (1)/(x + 2)

g’(x) = 1 integrando, g(x) = x+2

Geralmente escolhemos so g(x) = x certo? Mas nesse caso essa ´´é a sacada do problema escolher g(x) = x+2. Podemos fazer isso? Sim, pois ao aplicar uma integral indefinida o resultado é;

int f (x) d x = f(x) + C , certo? Então geralmente escolhemos C=0 , mas nesse caso fizemos

C =2 para facilitar a resolução

Passo 3

Portanto ;

int l n ( x + 2 ) d x = l n ( x + 2 ) ( x + 2 ) - int (x + 2) (1)/(x + 1) d x

= l n ( x + 2 ) ( x + 2 ) - int d x = l n ( x + 2 ) ( x + 2 )

= ( x + 2 ) l n ( x + 2 ) . – x | [[2],[-,1]]

= 4 l n ( 4 ) – 2 ) – ( 1 l n ( 1 ) + 1 )

= 4 l n ( 4 ) - 3 = 2,5451.

Resposta

int_(- 1)^2 ln (x + 2) d x = ,5451.

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