Questão 26) Calcule a integral indefinida:

∫ - 1 2 ln ⁡ x + 2   d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada) não conseguirá resolver.
  2. Note que o integrando   " ln ⁡ x + 2   " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções, portanto devemos encontrar no integrando ‘’ln(x+2)’’ o produto de duas funções, mas note que ln(x+2) = 1.ln(x+2) certo? Vamos lá.

Passo 2

Seja f(x) = ln(x+2) derivando, f’(x) = 1 x + 2

g’(x) = 1 integrando, g(x) = x+2

Geralmente escolhemos so g(x) = x certo? Mas nesse caso essa ´´é a sacada do problema escolher g(x) = x+2. Podemos fazer isso? Sim, pois ao aplicar uma integral indefinida o resultado é;

∫ f x   d x = f(x) + C , certo? Então geralmente escolhemos C=0 , mas nesse caso fizemos

C =2 para facilitar a resolução

Passo 3

Portanto ;

∫ l n ⁡ ( x + 2 )   d x = l n ( x + 2 )   ( x + 2 )   -   ∫ x + 2 1 x + 1   d x  

= l n ( x + 2 )   ( x + 2 )     -   ∫ d x   =     l n   ( x + 2 ) ( x + 2 )

= ( x + 2 )   l n   ( x + 2 ) .   –   x   |   2 - 1

=   4   l n   ( 4 )   –   2   )   –   (   1   l n   ( 1 )   +   1 )  

= 4   l n   ( 4 )   - 3   = 2,5451.

Resposta

∫ - 1 2 ln ⁡ x + 2   d x = ,5451.

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