Enunciado

O raio de um círculo varia À taxa de - 2 π   m / s . A que taxa a área do círculo varia quando r = 10   m ?

Passo 1

Vamos começar achando a expressão que relaciona a área do círculo e o raio. Que é a fórmula da área do círculo:

A = π r 2

O temos que fazer é derivar implicitamente a equação da área. A derivada implícita vai ser aquela que quando derivarmos algo que não seja t , devemo colocar a derivada junto. Por que r , A , a princípio, são funções do tempo.

A derivada do lado esquerdo é direto porque só tem o A . Vamos derivar o lado direito primeiro então:

π r 2 ' = 2 π r r '

Vamos ter no final:

A ' = 2 π r r '

Ele está usando uma nomenclatura diferente, vamos escrever dessa forma. Para isso, vamos ver que:

A ' = d A d t

r ' = d r d t

Nossa equação fica:

d A d t = 2 π r d r d t

Passo 2

Agora que temos a relação entre as taxas, vamos substituir os valores que ele deu:

d r d t = - 2 π   m / s

E

r = 10   m

Encontraremos:

d A d t = 2 π 10 - 2 π

d A d t = - 40   m 2 / s

A unidade vai ser área por tempo, que será m 2 por segundo.

Resposta

d A d t = - 40   m 2 / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A impedância Z o h m s de um circuito em série está relacionada com a resistência Ro h m s e a reatância o h m s pela equação Z = R 2 + X 2 , Se R aumenta a 3o h m s / s e X diminuiu a 2 o h m s / s ,
Á área total da superfície S de um cilindro circular reto está relacionada com o raio da base r e a altura h pela equação S = 2 π r 2 + 2 π r h a ) Como d S / d t está relacionada com d r / d t se h é
A área da superfície lateral S de um cone circular reto está relacionada com o raio da base r e a altura h pela equação S = π r r 2 + h 2 a ) Como d S / d t está relacionada com d r / d t se h é const
O volume de um balão está decrescendo a uma taxa proporcional à sua área superficial. Mostre que o raio do balão diminui a uma taxa constante.
Encontre as linearizações dea. t g xe mx = - π / 4 Trace as curvas e as linearizações em um único gráfico.