Enunciado

A impedância Z o h m s de um circuito em série está relacionada com a resistência R   o h m s e a reatância o h m s pela equação Z = R 2 + X 2 , Se R aumenta a 3   o h m s / s e X diminuiu a 2 o h m s / s , a que taxa Z varia quando R = 10   o h m s e X = 20   o h m s ?

Passo 1

Para resolver qualquer uma dessas letras, a primeira coisa que temos que fazer é derivar implicitamente a equação da superfície. A derivada implícita vai ser aquela que quando derivarmos algo que não seja t , devemo colocar a derivada junto. Por que r , h , S , a princípio, são funções do tempo.

A equação que relaciona todas elas é:

Z = R 2 + X 2

Para facilitar nossas contas, vamos elevar todos ao quadrado:

Z 2 = R 2 + X 2

A derivada do lado esquerdo vai ser:

Z 2 ' = 2 Z Z '

Passo 2

Vamos derivar o lado direito agora:

R 2 + X 2 ' = R 2 ' + X 2 ' = 2 R R ' + 2 X X '

Vamos ter no final:

2 Z Z ' = 2 R R ' + 2 X X '

Dividindo por 2

Z Z ' = R R ' + X X '

Vamos tirar aquele Z porque ele deu a função em Z , só fizemos aquele macete para ficar mais fácil de derivar. Assim, usando:

Z = R 2 + X 2

Vamos ter:

R 2 + X 2 Z ' = R R ' + X X '

Passando aquela raiz dividindo:

Z ' = R R ' + X X ' R 2 + X 2

Ele está usando uma nomenclatura diferente, vamos escrever dessa forma. Para isso, vamos ver que:

Z ' = d S d t

X ' = d X d t

R ' = d R d t

Nossa equação fica:

d Z d t = R d R d t + X d X d t R 2 + X 2

Passo 3

Vamos substituir os valores que ele deu:

X ' = d X d t = - 2

R ' = d R d t + 3

Atenção que ele diz quie X diminui e R aumenta, então temos que colocar menos e mais respectivamente.

R = 10

X = 20

d Z d t = 10 + 3 + 20 - 2 10 2 + 20 2

d Z d t = 30 - 40 10 2 + 20 2

d Z d t = - 10 100 + 400

d Z d t = - 10 500

d Z d t = - 10 10 5

d Z d t = - 1 5   o h m s / s

Resposta

d Z d t = - 1 5   o h m s / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t = 0 . Após t horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por: T t = 30 - 5 t + 4 t + 1 ,0 ≤ t ≤ 5 Qual a velocidade de redução de sua
Seja r a raiz cúbica de um número real x . Encontre a taxa de variação de r em relação a x quando x for igual a 8 .
Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 8 0k m / h . Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95k m / h . Ach
O custo total C ( q ) da produção de q unidades de um produto é dado por: C q = 1 2 q 3 - 5 q 2 + 10 q + 120 Qual o custo fixo?Qual é o custo marginal quando o nível da produção é q = 20 unidades?Dete
Um líquido goteja em um recipiente. Após t hora, há 5 t - t 1 2 litros no recipiente. Qual a taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em l / h o r a , quando t = 16 horas?