Enunciado

Epidemias. A utilização de métodos matemáticos para estudar a disseminação de doenças contagiosas vem desde a década de 1760, pelo menos, quando Daniel Bernoulli fez um trabalho relativo á varíola. Em anos mais recentes, muitos modelos matemáticos foram propostos e estudados para diversas doenças diferentes. Os problemas de 22 a 24 tratam alguns dos modelos mais simples e as cpnclução que podem ser tirada deles. Modelos semelhantes também têm sido usados para descrever a disseminação de boatos e de produtos de consumo.

24. O trabalho de Daniel Bernolli em 1760 tinha como objetivo avaliar o quão efetivo estava sendo um programa controverso de inoculação contra a varíola, que era um grande problema de saúde pública na época. Seu modelo se aplica igual bem a qualquer outra doença que, uma vez adquirida, se o paciente sobreviver, ganha imunidade para o resto da vida.

Considere o conjunto que sobrevivem t anos depois. Seja x ( t ) o número de elemtnso desse conjunto que ainda não tiverem varíola até o ano t e que são, portanto, suscetíveis. Seja β a taxa segunda a qual indivíduos suscetíveis contraem varíola e seja v a taxa segundo a qual pessoas que contraem varíola morrem da doença. Finalmente, seja μ t a taxa de morte por qualquer outro motivo diferente da varíola. Então d x / d t , a taxa segundo a qual o número de indivíduos suscetíveis varia, é dada por

d x / d t = - β + μ t x ,       ( i )

O primeiro termo na expressão à direita do sinal de igualdade na Eq.(i) é a taxa segundo a qual os indíviduos suscetíveis contraem a doença, e o segundo termo é a taxa segundo a qual eles morrem de outras causas. Temos também

d n / d t = - v β x - μ t n ,         ( i i )

Em que d n / d t é a taxa de mortalidade do conjunto inteiro, e os dois termos à direita do sinal de igualdade são devidos à varíola e às outras causas, repectivamente.

(a) Seja z = x / n e mostre que z satisfaz o problema de valor inicial

d z / d t = - β z ( 1 - v z ) ,         z ( 0 ) = 1

Observe que o problema de valor inicial (Eq.(3)) não depende de μ ( t ) .

(b) Encontre z t resolvendo a Eq.(3)

(c) Bernoulli estimou que v = β = 1 / 8 . Usando esses valores, determine a proporção de indivíduos com 20 anos que ainda não tiveram varíola.

Nota: Baseado no modelo que acabamos de descrever e nos melhores dados de mortalidade disponíveis na época, Bernoulli calculou que, se as mortes devidas à varíola pudessem ser elemidadas v = 0 , então seria possível adcionar aproximadamente 3 anos à expectativa média de vida (em 1760) de 26 anos e 7 meses. Portanto, ele apoiou o programa de oniculação.

Passo 1

Meus deus, que questão gigante. Nem quero mais faze-la, mas fazer o que...

Neste primeiro passo ficamos só com a parte que nos assustamos com o tamanho da questão, mas vamos já indicar que ela é trabalhosa, não difícil.

Passo 2

(a) Vamos tomar nossa equação

d n d t = v β x - μ t n

Tomando a transformação sugerida z = x / n

d z d t = 1 n d x d t - x n 2 d n d t

Assim temos pela equação (i) e (ii)

d z d t = 1 n - β + μ t x - x n 2 - v β x - μ t n

Assim temos

d z d t = x n - β + μ t - v β x n - μ t = - z β - v β z = z β 1 - v z  

Passo 3

(b) Para resolvemos usando a ideia de variáveis separáveis. Assim nossa equação pode ser escrita como

d z z 1 - v z = - β d t

Vamos usar frações parciais e fazer que

1 z 1 - v z = A z + B 1 - v z = 1 - v z A + z B z 1 - v z

Assim temos que

1 - v z A + z B = 1

Quando z = 0 → A = 1 e quando 1 - v z = 0 → B = v . Desta forma podemos reescrever nossa equação como

d z z - v   d z v z - 1 = - β t

E agora finalmente integrando, temos

z v z - 1 = C e - β t

Note que, quando z 0 = 1

1 v - 1 = C

Assim temos que

Resolvendo pra z temos

z t = 1 v + 1 - v e β t

Passo 4

(c) para v = β = 1 / 8   e t = 20

Temos que

z 20 = 0,0927

Resposta

(b) z t = 1 v + 1 - v e β t

(c) z 20 = 0,0927

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