Enunciado

A região entre a curva y 2 = k x e a reta x = 1 4 k gira em torno da reta x = 1 2 k . Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante. (Suponha k > 0 )

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos começar dando uma olhada em como seria o gráfico disso?

Olha só, a parte em azul é a região que vai gerar o sólido (a outra parte é só a projeção dela). A gente vai girar essa parte em torno da reta x = k 2 . E daí a gente pode montar nossa integral, lembrando que:

y 2 = k x → y = ± k x

Passo 2

Como as funções y =   - k x   e   y = k x são simétricas, a gente pode usar pra calcular o volume apenas 2 k x , já que são duas partes iguais.

Vamos usar cascas cilíndricas pra calcular o volume, ou seja, vamos usar a fórmula:

V = ∫ a b 2 π x   f x d x

No nosso caso a integral fica:

V = ∫ 0 k 4 2 π k 2 - x 2 k x   d x

Integral montada, agora a gente vai calcular...

Passo 3

Resolvendo:

V = 2 π ∫ 0 k 4 k k x - 2 x k x   d x

= 2 π 2 k x k x 3 - 4 x 2 k x 5 0 k 4

= 2 π k 3 12 - k 3 40

= 2 π 7 k 3 120

= 7 k 3 π 60

E prontinho! Esse é o volume😉

Resposta

V = 7 k 3 π 60

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