Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 5.9 - Ex. 22

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Nos Exercícios de 1 a 38 ache a área limitada pelas curvas dadas. Em cada problema, faça o seguinte: (a) desenhe uma figura mostrando a região e um elemento de área retangular; (b) expresse a área da região como o limite de uma soma de Riemann; (c) ache o limite na parte (b), calculando uma integral definida pelo segundo teorema fundamental do Cálculo.

22. y = x 2 ; y = x 4

Passo 1

Vamos olhar as curvas e colocar num gráfico a região delimitada por elas com o elemento retangular. Depois escrevemos o limite por soma de Riemann e por fim, calculamos esse limite.

Passo 2

a) Colocando no gráfico, teremos:

Onde o ∆ x representa uma partição do intervalo [ 0 ,   1 ] no eixo x , vamos considerar assim pois o gráfico é simétrico! ;)

Passo 3

b) Para um soma de Riemann, pela definição 5.5.1, temos:

 lim | | ∆ | | → 0   ⁡ ∑ i = 1 n f ( w i ) ∆ i x = L

(no caso L é o valor da nossa área A )

Mas como assim? Precisamos calcular os retângulos sob a curva e somá-los para então obter a área sob a curva. Então, a área de cada retângulo é f ( w i ) ∆ i x , onde f ( w i ) é a nossa função que tá por cima mas num ponto w i que pertence a ∆ i x . A norma da partição é || ||, quando o limite disso tende a zero, muitos retângulos “finos” serão calculados, melhorando o cálculo da área. Certinho? Vamos escrever esse limite...

A = 2   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( w i 2 - w i 4 ) ∆ i x

Como estamos calculando de 0 até 2, que é metade do gráfico, multiplicamos por 2 pra ter a área total. E a altura dos mini retângulos será a função y = x 2 menos a reta que tá embaixo y = x 4

Show? =]

Passo 4

c) Agora vamos calcular esse limite

Pela definição 5.5.2 esse limite pode ser calculado como uma integral de f x d x , assim ó:

2   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( w i 2 - w i 4 ) ∆ i x = 2 ∫ 0 1 x 2 - x 4 d x

Resolvendo...

2 ∫ 0 1 x 2 - x 4 d x

2 x 3 3 - x 5 5 0 1 = 2 ( 1 3 3 - 1 5 5 ) - ( 0 ) = 4 15

Prontinho, calculamos a área pela soma de Riemann :D

Resposta

a)

b) A = 2   lim | | ∆ | | → 0 ⁡ ∑ i = 1 n ( w i 2 - w i 4 ) ∆ i x

c) A = 4 15

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