Enunciado

Uma região R no plano   x y é dada. Determine equações para a transformação T que mapeia uma região retangular S   no plano u v sobre R , onde os lados de S são paralelos aos eixos u e v .

R   é   l i m i t a d o   p o r   y = 2 x - 1 ,   y = 2 x + 1 ,   y = 1 - x ,   y = 3 - x

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos começar?

A região R é um paralelogramo limitado pelas equações paralelas:

y = 2 x - 1 y = 2 x + 1

Vamos supor que u = y - 2 x , então essas equações ficam:

u = y - 2 x = - 1 u = y - 2 x = 1

E temos que no plano u v essas retas ficam limitadas verticalmente por u = 1 e u = - 1 .

Da mesma forma vamos fazer para o segundo par de equações paralelas. Supondo que v = y + x temos:

y = 1 - x y = 3 - x

Assim:

v = y + x = 1 v = y + x = 3

A região fica limitada por v = 1 e v = 3 horizontalmente no plano u v .

Sendo assim, as curvas u = y - 2 x e v = x + y definem a transformação T - 1 que mapeia a região R no plano x y para um quadrado S no plano u v com as bordas sendo u = 1 , u = - 1 , v = 1 e v = 3 .

Passo 2

Para achar a transformação T que mapeia a região S na região R temos que resolver o sistema u = y - 2 x e v = x + y para x e y . Ou seja, obter x ( u , v ) e y ( u , v ) .

Então, fazendo u - v temos:

u - v = y - 2 x - y + x = - 3 x

x = - 1 3 u - v = 1 3 ( v - u )

Assim temos x ( u , v ) :

x = 1 3 ( v - u )

E agora fazendo u + 2 v temos:

u + 2 v = y - 2 x + 2 x + y = y + 2 y

u + 2 v = 3 y

y = 1 3 ( u + 2 v )

E encontramos y ( u , v ) .

Certo? Então encontramos a transformação T :

x = 1 3 ( v - u )

y = 1 3 ( u + 2 v )

Resposta

x = 1 3 ( v - u )

y = 1 3 ( u + 2 v )

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