Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬_S vec grad xx vec F * d vec S .

vec F (x , y , z) = t g^(- 1) (x^2 y z^2) hat i + x^2 y hat j + x^2 z^2 hat k

0 <= x <= 2 , o r i e n t a d o n a d i r e ç ã o d o e i x o x p o s i t i v o

Passo 1

Vamos começar calculando o rotacional do campo vec F :

grad xx vec F = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[t,g^(- 1),(x^2 y z^2),x^2,y,x^2,y,z]]| = vec i ((del)/(del y) ( x^2 z^2 ) - (del)/(del z) ( x^2 y )) + vec j ((del)/(del z) ( t g^(- 1) (x^2 y z^2) ) - (del)/(del x) ( x^2 z^2 )) + vec k ((del)/(del x) ( x^2 y ) - (del)/(del y) (t g^(- 1) (x^2 y z^2)))

grad xx vec F = 〈0 , (2 z)/(1 + x^2 y z^2) - 2 x z^2 , 2 x y - (x^2 z^2)/(1 + x^2 y z^2)〉

Passo 2

O vetor normal tem a orientação do eixo x positivo, então esse vetor é:

vec n = 〈1,0 , 0〉

Feito!

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar entre os vetores dos passos 1 e 2 :

〈0 , (2 z)/(1 + x^2 y z^2) - 2 x z^2 , 2 x y - (x^2 z^2)/(1 + x^2 y z^2)〉 * 〈1,0 , 0〉 = 0

Passo 4

Poxa vida! Esse produto escalar era nosso integrando! Como o resultado deu zero, toda a integral vai ser zero! Sendo assim:

∬_S vec grad xx vec F * d vec S = 0

Beleza?

Resposta

0

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