Enunciado

A região no primeiro quadrante limitado pela curva y = c o s x e pelas retas y = 1 e x = π 2 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

Bom, primeiro vamos esboçar a região para facilitar a visualização do problema:

Como precisamos girar essa região em torno do eixo x, vamos usar a equação do volume pelo método dos discos:

V = π ∫ a b f x 2 d x

Passo 2

Como vamos integrar em x, os limites serão onde a reta x = π 2 e onde a curva começa, x = 0 , nossa f ( x ) será a equação da própria curva, nossa integral então fica assim:

V = π ∫ 0 π 2 c o s 2 x d x

Passo 3

Agora basta resolver a integral, vamos reescrever o cosseno ao quadrado através da identidade trigonométrica:

c o s 2 x = 1 + c o s 2 x 2

Ficamos com:

V = π ∫ 0 π 2 1 + c o s 2 x 2 d x

Colocando o 2 para fora e integrando cada termo:

V = π 2 x + s e n 2 x 2 π 2 0

Substituindo os limites:

V = π 2 π 2 + s e n 2 π 2 2

V = π 2 4

Resposta

V = π 2 4

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