Enunciado

Quando é removida a força eletromagnética de um circuito elétrico simples, sem capacitores, mas tendo indutores e resistores, a taxa de decaimento da corrente é proporcional à corrente. A corrente é i ampères t s após a remoção e i = 40 , quando t = 0 s. Se a corrente cair para 15 ampères em 0,01 s, ache i em termos de t .

Passo 1

Como a taxa de decaimento d i d t da corrente é proporcional à corrente i , temos:

d i d t = - k i

Onde k é uma constante de proporcionalidade. Devemos então resolver a equação diferencial para i 0 = 40 e y 0,01 = 15 .

Passo 2

Separando as variáveis, temos:

d i i = - k d t

Integrando os dois lados:

∫ d i i = ∫ - i d t ⇒ ln ⁡ | i | = - k i + C

Sendo C uma constante. Transformamos então a equação usando a relação ln ⁡ a = b ⇒ a = e b :

i = e - k t + C ⇒ i = A e - k t

Sendo A = ± e C uma constante.

Passo 3

Para completar nossa equação, precisamos achar os valores de A e k . De i 0 = 40 , temos:

A e 0 = 40 ⇒ A = 40 ⇒ i = 40 e - k t

Agora, de y 0,01 = 15 , obtemos:

40 e - 0,01 k = 15 ⇒ e - 0,01 k = 15 40 = 3 8

Aplicando l n dos dois lados:

ln ⁡ e - 0,01 k = ln ⁡ 3 8 ⇒ - 0,01 k = ln ⁡ 3 8 ⇒ k = - 100 ln ⁡ 3 8 = 100 ln ⁡ 8 3

Agora temos a função da corrente:

i t = 40 e - 100 ( ln ⁡ 8 / 3 ) t = 40 e ln ⁡ 8 / 3 - 100 t = 40 ⋅ 8 3 - 100 t = 40 ⋅ 3 8 100 t

Resposta

i t = 40 e - 100 ( ln ⁡ 8 / 3 ) t = 40 ⋅ 3 8 100 t

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