Enunciado

Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t .

r t = e 2 t cos ⁡ 2 t   i + 2 j + e 2 t s e n   2 t k

Passo 1

O primeiro passa desse exercício é calcular a derivada r ' ( t ) da curva dada. Temos:

r ' t = 2 e 2 t ( cos ⁡ 2 t - s e n   2 t )   i + 2 e 2 t ( c o s   2 t + s e n   2 t ) k

Agora podemos obter o módulo da derivada:

r ' t = 2 e 2 t cos ⁡ 2 t - s e n   2 t 2 + 2 e 2 t c o s   2 t + s e n   2 t 2

= 2 e 2 t 2 [ cos ⁡ 2 t - s e n   2 t 2 + c o s   2 t + s e n   2 t 2 ]

= 2 e 2 t [ cos ⁡ 2 t - s e n   2 t 2 + c o s   2 t + s e n   2 t 2 ]

= 2 e 2 t cos 2 ⁡ 2 t - 2 s e n   2 t cos ⁡ 2 t + s e n 2 2 t + cos 2 ⁡ 2 t + 2 s e n   2 t cos ⁡ 2 t + s e n 2 2 t

= 2 e 2 t 2 cos 2 ⁡ 2 t + 2   s e n 2 2 t

= 2 e 2 t 2 ( cos 2 ⁡ 2 t +   s e n 2 2 t )

= 2 2 e 2 t

Passo 2

A função comprimento de arco é dada por

s t = ∫ 0 t | r ' t | d t

s ( t ) = ∫ 0 t 2 2 e 2 t   d t

s t = 2 e 2 t 0 t

s t = 2 e 2 t - 2

Passo 3

Partindo do passo anterior podemos obter uma expressão de t ( s ) . Temos:

s = 2 e 2 t - 2

e 2 t = s + 2 2

Aplicando o logaritmo natural aos dois lados da igualdade temos

2 t = l n ⁡ ( s 2 + 1 )

t = 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 )

Passo 4

Substituindo t na equação vetorial original da curva, obtemos:

r t ( s ) = e 2 t cos ⁡ 2 t   i + 2 j + e 2 t s e n   2 t k

= e 2 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) cos ⁡ [ 2 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ]   i + 2 j + e 2 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) s e n   [ 2 1 2   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ] k

= s 2 + 1 cos ⁡ [   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ]   i + 2 j + s 2 + 1 s e n   [   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ] k

Resposta

t ( s ) = s 2 + 1 cos ⁡ [   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ]   i + 2 j + s 2 + 1 s e n   [   l n ⁡ ( s 2 + 1 ) ] k

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