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Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela.

x = 2 cos ⁡ t ,     y = 2   s e n   t ,     z = 4 cos ⁡ 2 t ;       ( 3 ,   1 ,   2 )

Passo 1

A equação vetorial da curva é r t = ( 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   4 cos ⁡ 2 t ) .

Precisamos descobrir o valor do parâmetro t no ponto considerado. Para isso, vamos igualar as componentes às coordenadas do ponto em questão.

2 cos ⁡ t = 3   →   cos ⁡ t = 3 / 2

2   s e n   t = 1 → s e n   t = 1 / 2

4 cos ⁡ 2 t = 2     →   cos ⁡ 2 t = 1 / 2

Do sistema de equações acima, obtemos t = π 6 + 2 k π , sendo k um inteiro. Para cálculos posteriores podemos tomar t = π / 6 .

Passo 2

A derivada da função vetorial é dada por

r ' t = ( - 2   s e n   t , 2 cos ⁡ t , - 8   s e n   2 t )

Portanto, o vetor tangente no ponto especificado, ou seja, para t = π / 6 , é

r ' π / 6 = ( - 2   s e n π 6 , 2 cos ⁡ π 6 , - 8   s e n π 3 )

r ' π / 6 = ( - 1 ,   3 ,   - 4 3 )

Passo 3

A reta tangente, cujas equações paramétricas procuramos, passa pelo ponto ( 3 ,   1 ,   2 ) e é paralela ao vetor tangente r ' π / 6 = ( - 1 ,   3 ,   - 4 3 )

.Logo, pela Equação 12.5.2, as equações paramétricas podem ser calculadas:

x = 3 - t                     y = 1 + 3 t                     z = 2 - 4 3 t

Passo 4

Com base nas equações paramétricas da curva e da reta é possível traçar os gráficos de ambas numa mesma tela utilizando softwares como mostrado abaixo:

Resposta

x = 3 - t                     y = 1 + 3 t                     z = 2 - 4 3 t

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