Enunciado

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x 2 - 4 x + 3

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 2 x - 4

y ' ' = 2

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 2 x - 4 = 0 → 2 x = 4 → x = 2  

E pelo teste da derivada segunda, y ' ' 2 = 2 > 0 , temos um ponto mínimo em 2 ,   y 2 = ( 2 , - 1 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função. O único ponto crítico é em x = 2 , e olha só:

y ' = 2 x - 4 > 0 → 2 x > 4 → x > 2

Então, a função é decrescente antes de x = 2 e crescente depois de x = 2 .

E a concavidade? Nossa derivada deu y ' ' = 2 né? Logo, ela é sempre positiva, ou seja, a concavidade é sempre para cima, e não temos pontos de inflexão.

Passo 4

Como nossa função não tem nenhuma restrição, nosso gráfico não tem assíntotas.

Vamos ver então em quais pontos a função intercepta os eixos...

  • Eixo x:   x 2 - 4 x + 3 = 0
  • Resolvendo a equação do segundo grau encontramos: x = 1   e   x = 3 . Então temos os pontos:   1,0 e   3,0 .

  • Eixo y: x → 0 = 0 2 - 4 0 + 3 = 3

Então temos o ponto (0,3).

Juntando as informações agora, construímos o gráfico:

Passo 5

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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