Enunciado

Esboce o gráfico da função racional:

y = (x)/(x^2 - 1)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { - 1 , 1 } (não pode zerar o denominador)

Vamos calcular a derivada primeira e segunda:

y^' = (1 (x^2 - 1) - 2 x (x))/((x^2 - 1)^2) = (- x^2 - 1)/((x^2 - 1)^2)

y^(' ') = (- 2 x (x^2 - 1)^2 - 2 (x^2 - 1) (2 x) (- x^2 - 1))/((x^2 - 1)^4)

= ( ((x^2 - 1) (- 2 x (x^2 - 1) - 2 (2 x) (- x^2 - 1)))/((x^2 - 1)^4) = (2 x^3 + 6 x)/((x^2 - 1)^3)

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y^' = (- x^2 - 1)/((x^2 - 1)^2) = 0 -> - x^2 - 1 = 0 -> x^2 = - 1 ( n u n c a o c o r r e )

Então, a função não apresenta extremos relativos e absolutos.

Veja que a função não está definida para x = 1 e x = - 1 , mas está definida em todos os pontos próximos a esses. Com isso, temos assíntotas verticais em x = 1 e x = - 1 .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Vimos que a função não apresenta pontos críticos, mas possui assíntotas, então vamos analisar o sinal da derivada antes e depois das assíntotas:

Então, a função é sempre decrescente.

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y^(' ') = (2 x^3 + 6 x)/((x^2 - 1)^3)

Vemos que :

2 x^3 + 6 x = 0 -> 2 x (x^2 + 3) = 0 -> x = 0

(x^2 - 1)^3 = 0 -> x^2 - 1 = 0 -> x^2 = 1 -> x = +- 1

Então, a concavidade é para baixo em (- oo , - 1) e ( 0,1 ) para cima em (- 1,0) e ( 1 , oo )

A função muda a concavidade em x = +- 1 , porém não temos pontos no local já que eles não pertencem ao domínio. Temos um ponto de inflexão em ( 0,0 ) .

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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