Esboce o gráfico da função racional:

y = x / (x^2 - 1)

Passo 1

Primeiramente, vemos que o domínio da função é R - { - 1 , 1 } (não pode zerar o denominador)

Vamos calcular a derivada primeira e segunda:

y ' = 1 x 2 - 1 - 2 x x x 2 - 1 2 = - x 2 - 1 x 2 - 1 2

y ' ' = - 2 x x 2 - 1 2 - 2 x 2 - 1 2 x - x 2 - 1 x 2 - 1 4

= ( x 2 - 1 - 2 x x 2 - 1 - 2 2 x - x 2 - 1 x 2 - 1 4 = 2 x 3 + 6 x x 2 - 1 3

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' =   - x 2 - 1 x 2 - 1 2 = 0 →   - x 2 - 1 = 0 → x 2 = - 1   (   n u n c a   o c o r r e )

Então, a função não apresenta extremos relativos e absolutos.

Veja que a função não está definida para x = 1 e x = - 1 , mas está definida em todos os pontos próximos a esses. Com isso, temos assíntotas verticais em x = 1   e   x = - 1 .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função.

Vimos que a função não apresenta pontos críticos, mas possui assíntotas, então vamos analisar o sinal da derivada antes e depois das assíntotas:

Então, a função é sempre decrescente.

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' =   2 x 3 + 6 x x 2 - 1 3

Vemos que :

2 x 3 + 6 x = 0 → 2 x x 2 + 3 = 0 → x = 0

x 2 - 1 3 = 0 → x 2 - 1 = 0 → x 2 = 1 → x =   ± 1

Então, a concavidade é para baixo em - ∞ ,   - 1 e ( 0,1 ) para cima em - 1,0 e ( 1 , ∞ )

A função muda a concavidade em x = ± 1 , porém não temos pontos no local já que eles não pertencem ao domínio. Temos um ponto de inflexão em ( 0,0 ) .

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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