Enunciado

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = 5 x 2 5 - 2 x

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio com uma exponencial, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 2 x - 3 5 - 2

y ' ' = - 6 5 x - 8 5

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' =   2 x - 3 5 - 2 = 0 → 2 x - 3 5 = 2 → x - 3 5 = 1 → x = 1  

E pelo teste da derivada segunda, temos: y ' ' 1 = - 6 5 < 0 , como deu negativa, temos um ponto máximo em ( 1 ,   3 ) .

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função. Observe que x = 0 não pertence ao domínio, pois o denominador da fração não pode zerar. Vamos usar o ponto encontrado no passo anterior para ver os intervalos onde a derivada é positiva ou negativa.

y ' = 2 x 3 5 - 2

Então, a função é decrescente em ( - ∞ ,   0 ) e 1 , ∞   e crescente em ( 0,1 ) .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' = - 6 5 x - 8 5 .

A função é exponencial, e o expoente do numerador é par, então: x - 8 5 > 0 → ∀ x   ≠ 0 , e como o coeficiente é positivo, a concavidade é sempre para cima. Não temos pontos de inflexão.

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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