Enunciado

Resolva em t : e^(sqrt(t)) = x ²

Passo 1

Então, gente, esse exercício parece um bicho de 7 cabeças, mas eu vou te mostrar que só parece mesmo rs.

Ele te deu a seguinte equação: e^(sqrt(t)) = x ² e pediu pra resolver em t. Como assim “resolver em t”? Simples: é pra você isolar o t, ou seja, ficar t em função de x. Se fosse pra resolver em x seria fácil, né? Era só isolar o x passando o expoente ao quadrado pro outro lado na forma de uma raiz, o que a gente já sabe fazer de letra!

Seguinte, como a variável que nos interessa (o t ) está no EXPOENTE, a gente tem que arrumar um jeito de fazer ele descer pra gente poder resolver do jeito que a gente sabe. Como faz isso? Usando o nosso amado e querido logaritmo. Vamos ver o passo a passo?

Passo 1) Aplicar log dos dois lados

Passo 2) Usar as propriedades de log

Passo 3) Resolver a equação, isolando o t

Bora lá?

Passo 2

Como eu falei, a chave pra começar o problema é saber que você tem que usar log. Só que o seguinte: se você usa log de um lado você tem que usar no outro pra continuar sendo a mesma equação, se não vai virar outra equação totalmente diferente da nossa. Mas saiba uma coisa: você tem que usar de um lado o log COM A MESMA BASE que você usar no outro. Senão não faz sentido. Seria como multiplicar um lado por 2 e outro por 3, por exemplo.

Aqui a gente tem que usar a base e e vocês vão ver o porquê. Aplicando l n dos dois lados, temos:

l n ( e^(sqrt(t)) ) = l n ( x ² )

Passo 3

Pela Regra da Potenciação ( l o g_b a^()^n = n l o g_b a^()^() ), a gente pode descer aquele sqrt(t) e aquele 2 ali. Fica assim:

sqrt(t) l n e = 2 l n x

Agora que a gente vê o porquê de colocar a base como sendo e , já que l n e é 1 e a equação fica sqrt(t) = 2 l n x .

Passo 4

Agora é uma equação que a gente sabe resolver!

sqrt(t) = 2 l n x

Elevando os dois lados ao quadrado...

( sqrt(t) ) ² = ( 2 l n x ) ² .

t = 4 ( l n x ) ²

Prontinho!

Resposta

t = 4 ( l n x ) ²

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