Se usarmos, para esse caso que
x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t
, assim:
x ¨ - 6 x ˙ + 9 x = 0 → λ 2 e λ t - 5 λ e λ t + 9 e λ t = e λ t λ 2 - 6 λ + 9 = 0
e λ t λ 2 - 6 λ + 9 = 0 → λ 2 - 6 λ + 9 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
λ ' e λ " = - b ± b 2 - 4 a c 2 a
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = - 6 e c = 9
, assim:
λ ' e λ " = - ( - 6 ) ± - 6 2 - 4 1 9 2 1 = 3 ± 0 2 = 3 → λ 1 e λ 2 = 3
Passo 2
Identificados os valores de
λ
, podemos Agora reescrever o
x
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
λ 1 e λ 2
da equação característica (ou seja, a função
λ 2 + b λ + c = 0
), então se
λ 1 ≠ λ 2
então podemos reescrever
x
como sendo:
x t = A e λ 1 t + B t e λ 2 t A , B ϵ R
Para o nosso caso:
λ 1 = 3 = λ 2
Assim, substituindo os valores de
λ 1 e λ 2
:
x t = A e 3 t + B t e 3 t