Enunciado

Considere a equação a y ' ' + b y ' + c y = d , em que a ,   b ,   c   e   d são constantes.

  1. Encontre todas as soluções de equilíbrio, ou constantes, desta equação diferencial.
  2. Denote por y c uma solução de equilibro, e seja Y = y - y c . Então Y é o desvio de uma solução y de uma solução de equilíbrio. Encontre a equação diferencial satisfeita por Y .

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos fazer algumas suposições sobre o comportamento da nossa EDO para encontrar todas as soluções de equilíbrio. No segundo item, iremos substituir nosso resultado encontrado no item (a), com o acréscimo de um Y , que será o desvio, na EDO para encontrarmos qual a solução para Y .

Passo 2

  1. Bom, o enunciado nos pede para encontrar todas as soluções para o caso de equilíbrio, ou seja, para o caso onde y = c t e . Para esse caso, temos que y ' = 0 e y ' ' = 0 , assim ficamos com nossa EDO na forma
  2. c y = d

    y = d c

    E essa são todas as soluções possíveis para a condição de equilíbrio.

    Passo 3

  3. Temos que uma solução de equilíbrio, como já mostrado acima, é dada por

y c = d c

Assim, podemos escrever uma outra solução como

y = Y + y c = Y + d c

Substituindo na nossa equação inicial, chegamos na seguinte relação

a Y ' ' + b Y ' + c Y + d c = d

a Y ' ' + b Y ' + c Y + d = d

a Y ' ' + b Y ' + c Y = 0

Sendo essa nossa equação satisfeita por Y .

Resposta

  1. y = d c
  2. a Y ' ' + b Y ' + c Y = 0
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