Enunciado

Resolva a equação

c ) overset(¨)(x) + overset(˙)(x) + x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) + overset(˙)(x) + x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + lambda + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 1) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 1) = 0 -> lambda^2 + lambda + 1 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 1 e c = 1 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 1 +- sqrt(1^2 - 4 (1) (1)))/(2 (1)) = - (1)/(2) +- (sqrt(- 3))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

- (1)/(2) +- (sqrt(3 i^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(3 ( i )^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(3))/(2) i = - (1)/(2) +- (sqrt(3))/(2) i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = - (1)/(2) e beta = (sqrt(3))/(2)

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

x (t) = e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(3))/(2) t + B sin (sqrt(3))/(2) t]

Resposta

x (t) = e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(3))/(2) t + B sin (sqrt(3))/(2) t]

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