Resolva a equação

s) x¨ + 8x˙ + 20x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + 8 x ˙ + 20 x = 0 → λ 2 e λ t + λ + e λ t = e λ t λ 2 + 8 λ + 20 = 0

e λ t λ 2 + 8 λ + 20 = 0 → λ 2 + 8 λ + 20 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 8   e   c = 20 , assim:

λ ' e   λ " =   - 8 ± 8 2 - 4 1 20 2 1 = - 4 ± - 16 2    

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

- 4 ± 16 i 2 2 = - 4 ± ( 4 i ) 2 2 = - 4 ± 4     2 i = - 4 ± 2 i  

Passo 3

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

x t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = - 4   e   β = 2

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

x t = e - 4 t A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t  

Resposta

x t = e - 4 t A cos ⁡ 2 t + B sin ⁡ 2 t  

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