Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial.

y ' ' - y = 0 ,     y 0 = 5 / 4 ,     y ' 0 = - 3 / 4

Faça o gráfico dasolução para 0 ≤ t ≤ 2 e determine seu valor mínimo

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar cada tipo de EDO e escolher o melhor método para resolvermos a mesma. Após isso, vamos aplicar esse método nos atentando com os casos complicados que podem aparecer. Para o problema de valor inicial, usaremos uma relação dada no capítulo para as constantes, onde resolvemos um sistema e chegamos que

c 1 = y 0 ' - y 0 ⋅ r 2 r 1 - r 2 ⋅ e - r 1 ⋅ t 0 ,     c 2 = y 0 ⋅ r 1 - y 0 ' r 1 - r 2 ⋅ e - r 2 ⋅ t 0

Vamos resolver juntos!!

Passo 2

Bom, como para esse capítulo vamos apenas cair no caso onde a nossa equação característica é dada por r 1 ≠ r 2 , temos que haverá duas soluções para nossa equação. Supondo então que nossa solução é dada por y = e r ⋅ t , temos que nossa solução geral será

y = c 1 ⋅ e r 1 ⋅ t + c 2 ⋅ e r 2 ⋅ t e

y ' = c 1 ⋅ r 1 ⋅ e r 1 t + c 2 ⋅ r 2 ⋅ e r 2 t  

Ficando com y ' = r ⋅ e r ⋅ t e y ' ' = r 2 ⋅ e r ⋅ t . Substituindo em nossa EDO, temos que

r 2 - 1 ⋅ e r ⋅ t = 0

r 2 - 1 = 0

Caimos em uma equação de segundo grau. Resolvendo pelo método de Bhaskara, chegamos que

r = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a = 0 ± 4 2

Tendo como raízes r 1 = 1 e r 2 = - 1   . Assim, temos que nossa solução geral para a EDO dada é

y = c 1 ⋅ e t + c 2 ⋅ e - t

Passo 3

Aplicando as condições de contorno, temos que nossas constantes serão dadas pela relação mostrada no Passo 1, assim temos que

c 1 = y 0 ' - y 0 ⋅ r 2 r 1 - r 2 ⋅ e - r 1 ⋅ t 0 = - 3 / 4 + 5 / 4 ⋅ 1 1 + 1 ⋅ e - 1 ⋅ 0 = 2 / 4 2 = 1 / 4

c 2 = y 0 ⋅ r 1 - y 0 ' r 1 - r 2 ⋅ e - r 2 ⋅ t 0 = 5 / 4 ⋅ 1 + 3 / 4 1 + 1 ⋅ e 1 ⋅ 0 = 2 / 2 = 1

Assim nossa equação que satisfaz a EDO é

y = 1 4 e t + e - t

E o gráfico é algo desse tipo

Para encontrarmos o ponto de mínimo, precisamos derivar a equação encontrada e igualar a 0. Fazendo isso, temos que sua derivada será

y ' = 1 4 e t - e - t = 0

1 4 e t = e - t

Aplicando o logaritmo natural, ficamos com

ln ⁡ 1 4 e t = ln ⁡ e - t

ln ⁡ 1 4 + ln ⁡ e t = ln ⁡ e - t

ln ⁡ 1 4 + t = - t

2 t = ln ⁡ 4

t = ln ⁡ 2

Sendo esse nosso ponto de mínimo.

Resposta

y = 1 4 e t + e - t ,     t m í n = ln ⁡ 2

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