Resolva a equação

q) y'' + ay = 0, onde a < 0 é uma constante

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e λ t → y ˙ = λ e λ t → y ¨ = λ 2 e λ t , assim:

y ¨ + a y = 0 → λ 2 e λ t + a e λ t = e λ t λ 2 + a = 0

e λ t λ 2 + a = 0 → λ 2 + a = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 0   e   c = a < 0 , assim:

λ ' e   λ " =   - 0 ± 0 2 - 4 1 a 2 1 = ± - 4 a 2

Porém, nesse caso temos que - 4 a > 0 já que são dois valores negativos ( - 4   e   a ) multiplicando, assim:

± - 4 a 2 = ± 2 - a 2 = ± - a ( s e n d o   q u e - a > 0 )

Passo 2

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1   ≠   λ 2 então podemos reescrever y como sendo:

y t = A e λ 1 t + B e λ 2 t   A ,   B   ϵ R

Para o nosso caso: λ 1 = - a   e     λ 2 = - - a

Assim, substituindo os valores de λ 1   e   λ 2 :

y t = A e - - a t + B e - a t  

Resposta

y t = A e - - a t + B e - a t  

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