Enunciado

Resolva a equação

m ) overset(¨)(x) - 6 overset(˙)(x) + 9 x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) - 6 overset(˙)(x) + 9 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 5 lambda e^(lambda t) + 9 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 9) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 9) = 0 -> lambda^2 - 6 lambda + 9 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = - 6 e c = 9 , assim:

lambda^' e lambda " = (- ( - 6 ) +- sqrt((- 6)^2 - 4 (1) (9)))/(2 (1)) = 3 +- (sqrt(0))/(2) = 3 -> lambda_1 e lambda_2 = 3

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever x como sendo:

x (t) = [A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = 3 = lambda_2

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x (t) = [A e^(3 t) + B t e^(3 t)]

Resposta

x (t) = [A e^(3 t) + B t e^(3 t)] = e^(3 t) (A + B t)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 9 a 16, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta. y ' ' + 4 ⋅ y ' + 3 ⋅ y = 0 , y 0 =
Encontre a solução do problema de valor inicial. 2 y ' ' - 3 y ' + y = 0 , y 0 = 2 , y ' 0 = 1 / 2 Depos determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto em que a solução se anula.
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. 6 ⋅ y ' ' - y ' - y = 0
Considere a equação a y ' ' + b y ' + c y = d , em que a ,b ,ced são constantes.Encontre todas as soluções de equilíbrio, ou constantes, desta equação diferencial.Denote por y c uma solução de equilib
Em cada um dos problemas de 1 a 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. y ' ' + 3 ⋅ y ' + 2 ⋅ y = 0