Se usarmos, para esse caso que
x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(x) - 6 overset(˙)(x) + 9 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 5 lambda e^(lambda t) + 9 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 9) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 9) = 0 -> lambda^2 - 6 lambda + 9 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = - 6 e c = 9
, assim:
lambda^' e lambda " = (- ( - 6 ) +- sqrt((- 6)^2 - 4 (1) (9)))/(2 (1)) = 3 +- (sqrt(0))/(2) = 3 -> lambda_1 e lambda_2 = 3
Passo 2
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
x
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 != lambda_2
então podemos reescrever
x
como sendo:
x (t) = [A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)
Para o nosso caso:
lambda_1 = 3 = lambda_2
Assim, substituindo os valores de
lambda_1 e lambda_2
:
x (t) = [A e^(3 t) + B t e^(3 t)]