Resolva a equação

m ) x¨ - 6 x˙ + 9 x = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(x) - 6 overset(˙)(x) + 9 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 5 lambda e^(lambda t) + 9 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 9) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 6 lambda + 9) = 0 -> lambda^2 - 6 lambda + 9 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = - 6 e c = 9 , assim:

lambda^' e lambda " = (- ( - 6 ) +- sqrt((- 6)^2 - 4 (1) (9)))/(2 (1)) = 3 +- (sqrt(0))/(2) = 3 -> lambda_1 e lambda_2 = 3

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 != lambda_2 então podemos reescrever x como sendo:

x (t) = [A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = 3 = lambda_2

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

x (t) = [A e^(3 t) + B t e^(3 t)]

Resposta

x (t) = [A e^(3 t) + B t e^(3 t)] = e^(3 t) (A + B t)

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