Se usarmos, para esse caso que 
 x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t  
 
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 , assim:
 x ¨ - 6 x ˙ + 9 x = 0 → λ 2 e λ t - 5 λ e λ t + 9 e λ t = e λ t λ 2 - 6 λ + 9 = 0 
 
 
  
 
  
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
  
  
  
 
 e λ t λ 2 - 6 λ + 9 = 0 → λ 2 - 6 λ + 9 = 0 
 
 
  
 
  
  
 
  
  
 
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
 λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a  
 
 
 
 
  
 
 
  
 
 
 
 
Para o caso dado só temos 
 a = 1 ,   b = - 6   e   c = 9 
 
  
 , assim:
 λ ' e   λ " =   - ( - 6 ) ± - 6 2 - 4 1 9 2 1 = 3 ± 0 2 = 3 → λ 1   e   λ 2 = 3 
 
 
 
 
 
  
 
  
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
  
 
 
  
 
  
  
 
Passo 2
Identificados os valores de
   λ 
 
  
 , podemos Agora reescrever o 
 x 
 
  
  pelo teorema que diz que se temos duas raízes 
 λ 1   e   λ 2  
 
 
  
 
  da equação característica (ou seja, a função 
 λ 2 + b λ + c = 0 
 
  
 ), então se 
 λ 1 ≠   λ 2  
 
 
  
 
  então podemos reescrever 
 x 
 
  
  como sendo:
 x t = A e λ 1 t + B t e λ 2 t   A ,   B   ϵ R  
 
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
  
 
  
  
 
 
Para o nosso caso: 
 λ 1 = 3 = λ 2  
 
 
  
 
 
Assim, substituindo os valores de 
 λ 1   e   λ 2  
 
 
  
 
 :
 x t = A e 3 t + B t e 3 t