Enunciado

Resolva a equação diferencial por dois métodos:

a)Use um fator de integração

d y d x + y tg ⁡ x = 0

Passo 1

A equação diferencial é linear de primeira ordem em y , pois podemos escrevê-la na forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Com P x = tg ⁡ x e Q x = 0 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ tg ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = - ∫ - sen ⁡ x d x cos ⁡ x = - ∫ d cos ⁡ x cos ⁡ x = - ln ⁡ | cos ⁡ x |

e ∫ P x d x = e - ln ⁡ cos ⁡ x = e ln ⁡ cos ⁡ x - 1 = cos ⁡ x - 1 = | sec ⁡ x |

Multiplicando a equação por | sec ⁡ x |

| sec ⁡ x | d y d x + sec ⁡ x tg ⁡ x y = 0

Passo 3

Como d | sec ⁡ x | d x = sec ⁡ x tg ⁡ x , temos:

| sec ⁡ x | d y d x + d ( | sec ⁡ x | ) d x   y = 0 ⇒ d y | sec ⁡ x | d x = 0

Agora integrando:

∫ d y | sec ⁡ x | d x = C ⇒ y sec ⁡ x = C ⇒ y = C sec ⁡ x - 1 = C | cos ⁡ x |

Resposta

y = C | cos ⁡ x |

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