Enunciado

A equação de Von Bertalanffy afirma que a taxa de crescimento em comprimento de um peixe individual é proporcional à diferença entre o comprimento atual L e o comprimento assintótico L ∞ (em centímetros).

a) Escreva uma equação diferencial que expresse essa idéia.

b) Faça um esboço do gráfico de uma solução de um problema típico de valor inicial para esta equação diferencial.

Passo 1

a) Então pessoal, o enunciado está falando de taxa de crescimento. Sempre que a palavra taxa for associada a alguma dependência, significa que estamos falando de derivada! Escrevendo uma equação diferencial tendo as características descritas, obteremos:

d L ( t ) d t = k L ∞ - L t

Na equação que escrevemos k é a constante de proporcionalidade da equação diferencial, no qual deve ser maior do que zero, claro! Ademais, fica bem claro que L depende de t .

Passo 2

b) Antes de esboçarmos o gráfico devemos resolver essa equação diferencial, certo? De início o que precisamos fazer é separar essas variáveis que estão juntas, se liga:

d L t L ∞ - L t = k d t

Integrando ambos os membros, teremos:

∫ d L t L ∞ - L t = k ∫ d t

Do lado esquerdo da equação, podemos fazer:

u = L ∞ - L ( t )

d u = - d L ( t )

Aqui vale ressaltar que L ∞ se comporta como uma constante, por isso some na derivação. Substituindo, teremos:

- ∫ d u u = k ∫ d t

- ln ⁡ u + C 1 = k t + C 2  

Unindo as constantes e substituindo u novamente, teremos:

ln ⁡ 1 L ∞ - L t = k t + C 3

Passo 3

Tudo bem, resolvemos a integral, agora o que precisamos fazer é isolar L t . Aplicando a propriedade geral de logaritmos:

e k t + C 3 = 1 L ∞ - L t

Isolando L ( t ) :

L t = L ∞ - e - k t - C 3

Se plotarmos o gráfico dessa função, obteremos algo do tipo:

Ter uma assíntota horizontal faz total sentido, uma vez que um peixe não pode crescer indefinidamente, não é mesmo? Sendo assim, o resultado nos parece aceitável! 😊

Resposta

a) d L ( t ) d t = k L ∞ - L t

b) L t = L ∞ - e - k t - C 3

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