Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - 2 y ' + 2 y = x + e x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 - 2 r + 2 = 0

Resolvendo, temos que:

r = 2 ± 4 - 8 2

r = 2 ± 2 i 2

Podemos dizer que as raízes são:

r = 1 ± i

Como as raízes têm parte reais e complexas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = e x c 1 cos ⁡ x + e x c 2 sen ⁡ x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = x + e x

Temos que:

y p = A x + B + C e x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = A + C e x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = C e x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' - 2 y p ' + 2 y = x + e x

C e x - 2 ( A + C e x ) + 2 A x + B + C e x = x + e x

2 A x + - 2 A + 2 B + C e x = x + e x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

C = 1

2 A = 1

A = 1 2

- 2 A + 2 B = 0

B = A = 1 2

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 1 2 x + 1 2 + e x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = e x c 1 cos ⁡ x + e x c 2 sen ⁡ x + 1 2 x + 1 2 + e x

Resposta

y = e x c 1 cos ⁡ x + e x c 2 sen ⁡ x + 1 2 x + 1 2 + e x

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