Enunciado

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3-10. Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F = ∇ f .

6. F x ,   y = y e x i + e x + e y j

Passo 1

Então pessoal, assim como o enunciado nos pede, de início temos que determinar se F é um campo conservativo ou não. Mas como fazemos isso? De acordo com a seção 16.3 do Stewart, um campo é conservativo quando as derivadas mistas das componentes são iguais, ou seja:

F → = F x i → + F y j →

Para ser conservativo:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Passo 2

Nossa função é:

F x ,   y = y e x i + e x + e y j

Encontrando as derivadas parciais:

∂ F x ∂ y = ∂ y e x ∂ y = e x

∂ F y ∂ x = ∂ ( e x + e y ) ∂ x = e x

Como as derivadas parciais deram iguais, então podemos concluir que F é conservativo! Agora que determinamos isso, precisamos determinar uma função potencial para F , mas como fazemos isso? Vamos pegar qualquer uma das componentes de F e integrar em relação à sua variável, se liga:

∫ F x d x = ∫ y e x d x

O resultado disso será:

f = y e x + g ( y )

Espera aí, da onde saiu essa função g ( y ) ? Quando realizamos uma integração indefinida surge uma constante, não é? Como nossa função f é uma função apenas de x , quando derivarmos-a aquela g ( y ) desaparece, então ela funciona como uma constante! Agora o que temos que fazer é determinar quem é essa função, então bora lá!

Passo 3

O que precisamos fazer agora é derivar a função potencial que encontramos em relação à y , se liga:

∂ f ∂ y = e x + g ' y

De acordo com o passo 1, temos que a componente y do campo dado é:

F y = e x + e y

Igualando as equações, teremos que:

e x + g ' y = e x + e y

Disso podemos tirar que g ' y = e y . Integrando para descobrir g ( y ) :

∫ e y d y = e y + C

Sendo assim, temos que:

g x = e y + C

Substituindo em f :

f = y e x + e y + C

E está aí a função que queríamos!

Resposta

f = y e x + e y + C

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