Resolva o problema de valor limite, se possível.

4y'' - 4y' + y = 0, y(0) = 4, y(2) = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar dessa EDO é:

4 r 2 - 4 r + 1 = 0

Fatorando, temos que:

2 r - 1 2 = 0

Podemos dizer que as raízes são:

r = 1 2

Se amabas as raízes forem reais e iguais, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y = e r x c 1 + c 2 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Aplicando ao problema, temos que:

y = y = e 1 2 x c 1 + c 2 x

Passo 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar o valor das constantes:

y 0 = e 0 c 1 + c 2 0

c 1 = 4

Para a segunda condição, temos:

y 2 = e 1 2 2 c 1 + c 2 2

0 = e 1 4 + c 2 2

4 e + 2 e c 2 = 0

c 2 = - 2

Portano a solução para o problema será:

y = e 1 2 x 4 - 2 x

Resposta

y = e 1 2 x 4 - 2 x

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