Enunciado

Resolva o problema de valor limite, se possível.

4 y^(' ') - 4 y^' + y = 0 , y (0) = 4 , y (2) = 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar dessa EDO é:

4 r^2 - 4 r + 1 = 0

Fatorando, temos que:

(2 r - 1)^2 = 0

Podemos dizer que as raízes são:

r = (1)/(2)

Se amabas as raízes forem reais e iguais, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y = e^(r x) (c_1 + c_2 x)

Onde c_1 e c_2 são constantes.

Aplicando ao problema, temos que:

y = y = e^((1)/(2) x) (c_1 + c_2 x)

Passo 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar o valor das constantes:

y (0) = e^0 (c_1 + c_2 (0))

c_1 = 4

Para a segunda condição, temos:

y (2) = e^((1)/(2) (2)) (c_1 + c_2 (2))

0 = e^1 (4 + c_2 (2))

4 e + 2 e c_2 = 0

c_2 = - 2

Portano a solução para o problema será:

y = e^((1)/(2) x) (4 - 2 x)

Resposta

y = e^((1)/(2) x) (4 - 2 x)

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