Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - y ' = x e x ,   y 0 = 2 ,   y ' 0 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' - y ' = 0

E supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x - k A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 - k = 0

Para resolver essa equação vou colocar k em evidência:

k k - 1 = 0

Bom, aqui temos um produto e ele tem que ser igual à zero. Sendo assim, temos duas soluções, onde cada termo desse produto é zero. Daqui saem duas raízes:

k 1 = 0   ,   k 2 = 1

Agora basta substituir na solução que nós mesmos supomos lá no início do passo 2 . y h x = c 1 e 0 + c 2 e x = c 1 +   c 2 e x

Agora vamos partir para a solução particular.

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = x e - x , e faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução L.I vai ser uma função exponencial multiplicada por um polinômio de primeiro grau e tudo isso vezes um x (assim deixamos a solução L.I):

y p x = e x ( A x + B ) x

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser (aqui vou usar a regra do produto!):

y p ' x = A x e x + A x + B e x + e x A x + B x = e x [ A x 2 + 2 x A + B x + B ]

y p ' ' x = e x [ A x 2 + 4 A x + B x + 2 B + 2 A ]

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p ' ' - y p ' = x e x

Substituindo y p ' e y p ' ' na equação vamos ter:

e x A x 2 + 4 A x + B x + 2 B + 2 A - e x A x 2 + 2 x A + B x + B = x e x

Dividindo todos os termos por e x e reorganizando:

2 A x + 2 A + B = x

Aqui devemos igualar os coeficientes! Vamos ficar com o seguinte sistema:

2 A = 1 2 A + B = 0

Da primeira linha temos que A = 1 / 2 . E da segunda: B = - 2 A = - 2.1 2 = - 1

Assim a solução particular é:

y p x = 1 2 x 2 - x e x

Passo 4

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e dos passos 3 e 4 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y x = c 1 +   c 2 e x + 1 2 x 2 - x e x

Passo 5

Beleza! Agora é só aplicar as condições iniciais para determinar as constantes c 1 e c 2 . As condições iniciais são:   y 0 = 2 ,   y ' 0 = 1

A primeira é sobre a solução, então fazendo x = 0 em y ( x ) temos:

y 0 = c 1 +   c 2 e 0 + 1 2 0 2 - 0 e 0 = 2

c 1 + c 2 = 2 ∴ c 1 = 2 - c 2

A segunda condição é sobre a derivada. Então y ' ( x ) é:

y ' x = c 2 e x + 1 2 x 2 - 1 e x

E aplicando em x = 0 temos:

y ' 0 = c 2 e 0 + 1 2 0 2 - 1 e 0

c 2 - 1 = 1 ∴ c 2 = 2

E voltando para determinar c 1 :

c 1 = 2 - 2 = 0

Show! Finalmente temos a solução:

y x =   2 e x + 1 2 x 2 - x e x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x =   2 e x + 1 2 x 2 - x e x

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