Enunciado

Escreva uma solução tentativa para o método dos coeficientes indeterminados. Não determine os coeficientes.

y ' ' + 4 y = e 3 x + x s e n ( 2 x )

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Com isso, a equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 4 y = 0

E a equação característica associada é:

k 2 + 4 = 0

A solução é dada pela fórmula de Bháskara:

k = ± - 4 ∴ k = ± 2 i

As raízes são complexas do tipo k = α ± β i a solução é:

y x = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 s e n β x

Beleza? Aqui temos α = 0 e β = 2 . Vamos substituir os valores encontrados?

y h x = c 1 cos ⁡ 2 x + c 2 s e n 2 x

Agora vamos encontrar a solução particular.

Passo 3

Nesse caso temos duas soluções particulares. Vamos começar com a primeira.

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G 1 x é G 1 x = e 3 x , uma exponencial, e não faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser:

y p 1 x = A e 3 x

Passo 4

A segunda solução particular vai ser dada a partir da função G 2 x é G 2 x = x s e n ( 2 x ) e faz parte da solução da equação homogênea, sendo assim devemos multiplicar por x uma possível solução tentativa:

y p 2 x = x A x + B s e n 2 x + x ( C x + D ) c o s ⁡ ( 2 x )

Passo 5

E a solução tentativa vai ser a soma das duas:

y p = y p 1 + y p 2

y p = A e 3 x + x A x + B s e n 2 x + x ( C x + D ) c o s ⁡ ( 2 x )

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y p = A e 3 x + x A x + B s e n 2 x + x ( C x + D ) c o s ⁡ ( 2 x )

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