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Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' + 2 y ' + y = x e - x

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e não homogênea, ou seja, o lado direito da equação não é zero. A solução geral vai ser a combinação linear da parte homogênea y h ( x ) e a parte particular y p ( x ) :

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea. A equação diferencial homogênea associada é:

y ' ' + 2 y ' + y = 0

E supor uma solução do tipo:

y x = A e k x

O processo para determinar k é sempre o mesmo: derivar uma e depois duas vezes e substituir na equação. Vamos lá?

As derivadas:

y ' x = A k e k x

y ' ' x = A k 2 e k x

Agora vamos substituir na equação diferencial:

k 2 A e k x + 2 k A e k x + A e k x = 0

Dividindo essa equação por A e k x temos:

k 2 + 2 k + 1 = 0

Essa é a famosa equação característica, responsável por determinar se a solução vai ser exponencial pura, um polinômio ou até mesmo uma solução oscilatória. Tudo isso depende das raízes dessa equação.

Para resolver essa equação vou usar a fórmula de Bháskara:

k = - ( 2 ) ± ( 2 ) 2 - 4.1 . 1 2.1

k = - 2 ± 0 2 = - 2 2 ∴ k 1 = k 2 = - 1

Aqui temos duas raízes reais e iguais, então a solução vai ser:

y h x = c 1 e - x + c 2 x e - x

Agora vamos determinar a solução particular?

Passo 3

A solução particular vai ser determinada pelo método dos coeficientes indeterminados. A função G x é G x = x e - x , e faz parte da solução da equação homogênea (ou também chamada de complementar), então uma possível solução vai ser um polinômio de primeiro grau, multiplicado por x 2 (para termos uma solução L.I) vezes uma exponencial:

y p x = x 2 A x + B e - x = A x 3 + B x 2 e - x

Definida a solução tentativa, agora o procedimento é padrão: derivar uma e duas vezes a função y p , substituir na equação diferencial completa e igualar os coeficientes. Vamos lá?

As derivadas vão ser:

y p ' x = 3 A x 2 + 2 x B e - x - A x 3 + B x 2 e - x = e - x ( - A x 3 + 3 A - B x 2 + 2 B x )

y p ' ' x = e - x [ A x 3 + B - 6 A x 2 + 6 A - 4 B x + 2 B ]

Resgatando a equação diferencial integral temos:

y p ' ' + 2 y p ' + y p = x e - x

E substituindo y p ,   y p '   e y p ' ' na equação diferencial temos:

e - x A x 3 + B - 6 A x 2 + 6 A - 4 B x + 2 B + 2 . e - x - A x 3 + 3 A - B x 2 + 2 B x + A x 3 + B x 2 e - x = x e - x

Dividindo por e - x e reorganizando os termos:

x 3 A - 2 A + A + x 2 B - 6 A + 2 3 A - B + B + x 6 A - 4 B + 4 B + 2 B = x

Simplificando temos:

6 A x + 2 B = x

Assim temos que A = 1 / 6 e B = 0

E a solução particular vai ser:

y p x = 1 / 6 x 3 e - x

Passo 4

Show! Agora é só juntar todos os resultados! Do passo 2 temos a solução y h e do passo 3 temos y p . Vai lá ao passo 1 e pega a solução geral:

y ( x ) = y h x + y p ( x )

Substituindo os resultados teremos:

y ( x ) = c 1 e - x + c 2 x e - x + x 3 6 e - x

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y ( x ) = c 1 e - x + c 2 x e - x + x 3 6 e - x

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